정상상태의 수치해석

이론 2

슈뢰딩거 방정식의 수치해석

시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식을 풀이하는 예로서 1차원 상자, 조화진동자, 수소원자의 경우를 살펴보았다. 이들이 비록 물리적으로 이미가 큰 문제이기는 하지만 실제로 우리가 만나는 양자역학의 계는 이처럼 단순한 퍼텐셜로 되어 있지 않고, 아울러 이들은 거의 대수적으로 풀리지 않는다.

그러나 우리가 알고 있는 수학으로 문제가 풀리거나 풀리지 않거나 자연은 관계하지 않고 그대로 존재할 뿐이다. 자연은 마치 수학적인 해를 알고 있는 것처럼 완벽하게 자연의 질서대로 행동하며, 슈뢰딩거 방정식도 그 질서의 하나이다. 그렇다면 풀리지 않은 대부분의 문제들을 우리는 어떻게 다루어야 할까?

이에 대한 해답이 바로 수치해석이다. 수치해석(numerical analysis)은 근사해를 구하는 한 방법으로 오래 전에 나온 것이지만 현대의 컴퓨터의 연산능력, 데이터 처리 능력에 힘입어 널리 쓰이고 있다. 수치해석에서는 연속적인 함수를 띄엄띄엄한 값의 집합으로 취급하여 컴퓨터가 다룰 수 있게 한다. 이 교재에서 보이는 대부분의 물리적인 움직임을 하는 프로그램들은 수치해석 기법을 이용한 것으로 이 기법은 양자역학 뿐만 아니라 물리나 자연과학이나 공학 등 전반적인 분야에 응용된다. 양자역학에서도 그랬지만 실제의 자연이 단순한 구조를 하고 있지 않기 때문이다.

어떤 물리계의 행동을 양자역학으로 해석하는 일은 역학에서의 질점으로서의 입자의 궤적을 해석해 내는 일보다 훨씬 어려운 일이다. 이는 양자역학이 공간에 널리 분포하는 파동함수로서 기술되는 데다가 이의 행동이 우리의 인지 영역에 벗어나 있어 이를 직관적으로 이해하는 것이 쉽지 않기 때문이다. 양자역학은 선형대수학의 구조를 하고 있어 어쩌면 순수 수학적인 문제로 보이기도 하다.

그러나 실제로 양자역학에서 다루는 물질파동도 우리가 눈으로 보는 수면파나 줄의 파동 등 보통의 파동과 크게 차이나지 않으며, 이를 앞서 __'파동의 운동'__ 단원에서 다양한 퍼텐셜에서의 물질파동의 행동을 통해 살펴 볼 수 있었다. 거기서의 __'파동묶음의 운동 모의실험'__과 __'2차원 파동묶음의 운동 모의실험'__은 역시 수치해석으로 풀이 한 것이다. 한편, 물질파의 정상상태는 이처럼 역동적인 움직임이 있는 것이 아니라 시간이 흘러가도 파동함수가 복소평면을 회전할 뿐 고정된 크기를 유지하고 있는 것을 말한다. 그리고 이는 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식으로 해석할 수 있다.