정상상태의 수치해석

이론 2

시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식

슈뢰딩거 방정식은 2계 편미분 방정식으로서 바로 풀이를 하기는 곤란하여 하나의 방안으로서 다음과 같이 변수분리의 방법을 쓴다. 즉, 물질파의 파동함수 가 다음처럼 공간 와 시간 의 함수의 곱을 되어 있다고 가정하자.

이를 슈뢰딩거 방정식에 대입하면,

이 된다. 이 식의 양변을 로 나누면 와 의 두 부분으로 나뉘어 진다.

식의 좌변과 우변은 각각 와 에 의존하고 있다. 임의의 와 에 대해 이들이 항상 같은 값을 가지기 위해서는 상수함수이어야 한다. 이 상수값을 우선 라고 하자. 그러면

이고,

이다. 이 중 시간에 대한 방정식인 첫째 것은 퍼텐셜의 형태와 관계없이 쉽게 풀리고, 둘째 것은 공간에 대한 것으로 퍼텐셜에 따라 다르게 풀어야 하여 양자역학은 주로 이 방정식을 풀이하는 문제가 되어 이를 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식(time independent Schrodinger equation)이라 한다.

우선 시간에 대한 방정식을 풀이하면,

이는 다음 그림에서 보는 것처럼 복소평면 위를 의 각속도로 회전하는 것을 나타낸다. 보다 일반적으로 이 해에 복소상수 를 곱해도 되지만 이는 에 흡수시켰다고 생각하자.

한편 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식은 퍼텐셜 때문에 계에 따라 다르게 풀릴 것이다. 특히 여기서의 는 시간에 대한 함수와 연결된 것으로서 이 값이 특정한 값이어야 한다. 어떤 값에 대한 공간 부분의 해를 라고 하자.

공간에 의존하는 방정식을 운동량 연산자를 써서 다음과 같이 다시 표시할 수 있다.,

이 되어

이 된다. 여기서 는 에너지 연산자이다. ( 라고 표기할 수 있으나 가 고전역학에서의 해밀토니안이어서 관례상 로 표기하도록 한다) 이처럼 어떤 물리량에 해당하는 연산자가 파동함수에 걸려서 그 함수에 상수배로 되는 특별한 함수를 고유함수(eigenfunction)이라 하고, 이러한 방정식을 고유방정식(eigen equation)이라 한다. 그리고 와 같이 결과의 함수 앞에 붙는 상수를 고유값(eigenvalue)라 한다. 파동함수가 어떤 연산자의 고유함수일때 이 연산자의 물리량에 대한 기대치는 고유값이 된다. 따라서 앞에서의 임의의 상수로 도입했던 가 바로 에너지의 기대값이라는 것을 알 수 있다. (이 때문에 에너지의 표기 를 미리 사용하였다.)

한편 이제 해를 완전히 표시하면,

이 된다. 여기서 에 아래첨자 를 붙인 것은 에너지의 기대치가 인 특별한 해를 나타내기 위함이다. 이렇게 구한 해는 일반적으로 미분방정식이 가질 수 있는 수 많은 해의 하나로 이를 특수해라고 한다. 이에 대한 확률밀도는

이 되어 시간에 무관하다. 즉, 특정한 에너지의 고유값을 가진 고유상태(eigenstate)는 확률밀도가 시간에 대해서 변하지 않고 정적인 상태로 있다는 보다 일반적인 관계가 성립한다고 할 수 있다. 이런 의미에서 정상상태라 하는 것이다.

한편 일반해는 중첩의 원리에 의해 이들 특수해의 선형결합으로 구해진다. 즉,

여기서 은 모든 가능한 에 대한 것이고, 아울러 는 임의의 복소수 상수이다.