정상상태의 수치해석

실험목적

구속된 양자상태를 해석하는 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식을 수치해석을 풀이하는 기법을 이해한다. 이로써 1차원으로 주어진 여러 형태의 퍼텐셜에 놓여있는 입자의 정상상태를 계산하고 이를 해석한다.

이론

물질파의 정상파

슈뢰딩거 방정식은 여느 파동방정식과 다를 바 없이 시공간에 펼쳐진 파동함수의 행동양식을 결정한다. 이 파동함수가 입자를 발견할 확률을 정할 뿐 입자에 대해 확정적인 정보는 주지 않기 때문에 양자역학이 애매모호하다는 인상을 주긴 하지만 파동으로서 시시각각 행동하는 양상은 매우 정확하게 예측이 된다. 이는 물질파의 파동함수가 슈뢰딩거 방정식을 엄밀하게 따르기 때문이다. 특정시간에 어떠한 파동함수로 놓여 있는지를 알게 된다면 슈뢰딩거 방정식은 그 다음 순간순간의 파동함수의 행동을 결정하는 것이다. 이 특정시간의 정보는 방정식의 초기조건이 되고, 이로부터 그 이후의 모든 시간에 대한 파동함수는 하나로 결정된다. 그런데 이 초기조건에서 파동함수가 공간적으로 어떤 분포를해야한다는 제약은 없다. 따라서 이무 형태의 파동이거나 상관없이 있을 수 있으며 그 분포가 달라지면 다음 순간의 파동함수의 행동이 달라질 따름이다.

이런 의미에서 슈뢰딩거 방정식은 고전역학의 운동방정식을 대신하는 것이라고 볼 수 있다. 고전론에서는 입자의 위치가 시시각각 변하는데 이 변화는 초기시간에서의 입자의 위치, 속도가 정해지면 매 순간의 입자의 위치가 정해진다고 본다. 양자론에서는 입자의 파동함수가 시시각각 변하는데 초기시간의 파동함수의 분포를 알면 매 순간 입자의 파동함수가 정해지는 것이다. 굳이 초기 시간 이후의 행동만 결정될 수 있는 것은 아니고, 과거의 행적도 결정된다. 따라서 슈뢰딩거 방정식은 역동적인 물질파의 행동을 계산 가능하게 하므로 고전역학의 모든 문제들이 새로운 방식으로 다루어질 수 있을 것이다.

물질파의 정상파

양쪽 끝이 고정된 줄처럼 제한된 공간에 형성되는 파동은 그 운동양상이 단순하여 마치 제자리에 멈추어져 있는 듯이 보이는 경우가 있다. 어떤 부위는 아무런 진동을 하지 않고 있으며 전체적으로 위상이 일치된 단진동을 한다. 또한 여느 파동처럼 주변으로 운동양상이 전파되지 않는것 처럼 보인다. 이것이 바로 정상파이다. 보통 파동의 경우 정상파는 악기의 원리가 되는 정도이겠지만 물질파의 정상파는 그보다 훨씬 중요하고 근본적이다.

물질파의 정상파도 보통의 파동과 마찬가지로 시간에 대해 고정된 상태를 유지하는 것을 말한다. 마디와 배가 고정되어 있고, 특정한 진동수로 진동을 한다. 그러나 물질파의 경우, 물리적으로 의미가 큰 확률밀도 는 시간이 흘러도 변하지 않는다. 이런 의미에서 정상상태(stationary state)라 한다. 보통의 원자는 주로 정상상태에 있는데, 전자의 확률분포가 시간에 따라 변동되면 광자(전자기파)를 발생하여 낮은 에너지를 가진 정상상태로 곧 떨어지기 때문이다. 이는 보통의 악기에서 정상파가 아닌 파동들이 뛰놀 수 있지만 곧 기본진동의 정상파만 나타나는 것과 비교할 수 있지만 악기의 경우 감쇠의 정도가 진동수에 따라 다르게 일어나기 때문으로 파동의 근본현상이라고 할 수 없다. 반면에 물질파가 정상상태로 존재하는 것은 광자와 연관된 보다 근본적인 이유가 있다.