정상상태의 수치해석

수치해석 기법 3

수치해석 전략

이제 슈뢰딩거 방정식을 풀이하는 전략을 세워보자.

우선 파동함수가 특정한 영역 내부에서만 존재하는 상황이라고 가정한다. 이는 오목한 퍼텐셜이 주어지고, 이 내부에 속박된 상태라는 제한이다. 따라서 여기서의 방법으로는 연속적인 에너지 고유값을 가지지 않고 띄엄띄엄한 값을 가진 경우에 대해서만 풀이할 수 있게 된다. 이에 따라 우리가 주목하는 영역을 포함하여 이보다 훨씬 넓은 영역을 설정하고, 이의 가장자리의 파동함수를 강제로 0 으로 둔다. 이는 가장자리에 무한히 높은 퍼텐셜의 장벽을 설치하는 효과와 동등하다.

그리고, 규격화 이전의 파동함수는 일정한 값이 곱해져 있어도 마찬가지이므로 전체적으로 파동함수의 수열에 일정한 값을 곱해도 된다. 즉, 0 이 아닌 한 지점의 파동함수의 값을 임의의 값으로 삼아도 된다. 따라서 왼쪽이나 오른쪽 바로 가장자리 안쪽의 파동함수를 임의의 값으로 부여한다.

예를 들어 왼쪽 끝( )의 파동함수 , 한 칸 오른쪽( )의 파동함수 를 임의의 값 라고 두자. 이로부터 그 이후 오른쪽의 모든 지점의 파동함수가 다 구해진다. 그러나 아무 를 가지고 이러한 절차를 밟았다면 당연히 오른쪽 끝( )의 파동함수가 0이 아닐 것이다. 이는 가 합당하지 않았기 때문이다. (이것이 의 선택과는 관련이 없는 것은 쉽게 알 수 있다. 한편 를 0으로 선택하는 경우는 모든 지점에서의 파동함수 값이 0 이라는 의미 없는 결과만 나온다.)

따라서 를 잘 선택해야 오른쪽 끝에서의 파동함수의 요구가 수용된다. 바로 에너지 고유값이 이러한 절차로 정해지는 것이다. 를 정확하게 구하는 일은 마치 수치해석으로 근을 찾는 문제와 닮아 있어 이분법(bisection method), 할선법(secant method), 뉴턴-랩슨(Newton-Rahpson)의 반복법 등 효율적인 여러 방안들을 적절히 이용할 수 있다.

하나의 에너지 고유값이 정해지면 이 과정에서 파동함수는 이미 정해지며 단지 규격화의 과정만 남는다.

그렇다면, 모든 가능한 고유값과 고유함수를 다 찾아낼 수 있는가? 고유값이 아주 조밀하여 거의 연속적이거나 마디간의 거리가 짧아져서 에 비견할 정도인 경우를 제외하고는 1차원에서 이들을 모두 찾는 것도 가능하다. 이는 파동함수의 마디의 수가 들뜬 순위에 해당한다는 일반적인 성질이 있기 때문이다.

이제 전략을 순차적으로 정리하면,

1. 격자의 수 를 적절히 정한다. 그리고 관심을 가지진 영역을 포괄하는 양쪽 가장자리의 좌표를 선택한다. 이 과정에서 이 정해진다.

2. 주어진 퍼텐셜을 이산적인 수열로 바꾼다.

3. 바닥상태의 에너지가 퍼텐셜의 최소값보다는 반드시 큰 값에서 시작되므로 이를 에너지 의 출발로 삼는다. 그리고 값을 조금 증가시켜서 파동함수의 모든 수열을 계산한다. 그리고 이 과정에서 파동함수의 부호가 바뀌는 마디점을 검사한다. 만일 중간에 마디가 1개 나타났다면 이는 이미 바닥상태보다는 높은 상태이므로 를 놓게 잡은 것이다. 따라서 보다 작은 값에서 다시 시도한다. 그리고 마디가 나타나지 않으면서 오른쪽 끝의 파동함수가 거의 0 되는 것을 반복적으로 찾는다. 실제 마디가 나타나는 에너지 와 나타나지 않는 에너지 를 반으로 나누어서 계속 시도하면 이분법에 의해 20회 정도에 백만분의 1 정도의 정밀도로 에너지 고유값이 정해진다.

4. 바닥상태를 구했다면 이제 이 에너지보다 약간 높은 에너지에서 첫 번째 여기상태의 에너지를 구할 수 있다. 따라서 마디수가 1개와 2개 사이에서 2와 같은 과정을 반복한다.

5. 순차적으로 같은 과정을 되풀이한다. 마디수가 과 개를 추적하여 번째 준위를 구해낸다.

6. 파동함수의 수열을 규격화 한다.

아래 프로그램에서 이 절차대로 주어진 퍼텐셜에서의 고유에너지와 고유함수를 구하는 과정을 보여준다. 구간수를 달리하여 0 ~ 4개의 모드를 갖는, 즉 5번째까지의 상태를 구할 수 있다. 구간수를 점차 크게 하면서 결과가 어떻게 달라지는가를 잘 살펴보자.

프로그램 설명

1. 프로그램은 왼쪽 두 점의 파동함수 값으로 부터 오른쪽 한 점의 파동함수를 결정해 나가면서 마디수를 검사하여 원하는 모드수를 넘기는 경우에는 에너지를 줄여서 다시 추적한다.

2. 처음의 에너지의 상한과 하한은 각각 100, 0 으로 하고, 이들의 중앙의 에너지로 시도하여 마디수가 모드수를 넘기면 중앙 에너지를 상한으로 다시 설정하고, 아니면 중앙 에너지를 하한으로 설정하여 과정을 되풀이 한다.

3. 1회의 반복에 대해 에너지의 범위가 1/2 씩 좁혀져서 10회를 수행하면 1/1024, 20회를 수행하면 약 백만분의 1로 된다. 따라서 프로그램에서 설정한 25회가 되면 처음 범위인 100 에서 약 0.000003 으로 줄어들어 거의 정확한 고유에너지를 구할 수 있게 된다.

4. 비록 (3)의 절차로 고유에너지는 정교하게 정해지더라도 파동함수가 오른쪽 가장자리에서 원하는 대로 0 이 되지 않는 경우가 있다.

관찰 사항

1. 처음의 형 퍼텐셜은 이어서 바닥상태의 에너지의 참값은 10 이다. 그러나 구간수에 따라 결과가 크게 벗어나는 경우가 있다. 구간수를 달리하여 각 결과의 오차를 서로 비교해 보자. 이를 통해 구간수를 늘인다는 것이 좋은가를 판단해 보자.

2. 형 퍼텐셜은 모드수가 올라가면 가장자리 효과가 커져서 점점 이론적인 결과와 달라진다. 가장자리 효과의 영향이 문제가 되는 경우, 가장자리에서의 파동함수의 행동을 관찰해 보자. 이런 문제를 피하기 위해서는 어떻게 해야할까?

3. 상자형 퍼텐셜은 무한 퍼텐셜 장벽에 갇힌 입자로서 가장자리 효과가 이미 반영되어 수치해석에서 확실한 결과가 나와야 한다. 모드수 0 ~ 4까지 모두에 대해 수치해석을 실행해 보자. (1)과 같은 질문에 대한 답을 해 보라.