파동의 표현

평면파의 표현

서로 평행인 무수히 많은 평면의 파면이 그 면에 수직으로 진행한다.

음파나 빛 등 3차원 공간에서 전파되는 파동의 경우 파가 발생된 한 점으로부터 나오는 파동은 그 점을 중심으로 한 구면파를 이루게 되지만 파가 멀리 진행하게 되면 파면이 거의 평면을 이루게 된다. 뿐만 아니라 빛에서의 렌즈와 같이 진행방향을 변화시키는 적당한 기구를 통하여 역시 파면을 평면으로 만들 수 있다.

이러한 평면파는 비록 진행방향이 3차원의 임의의 방향을 할 수 있지만 그 특성은 1차원의 파처럼 다루기가 쉽다. 더구나 동일한 진동수와 파장을 갖는 여러 평면파를 합성하여 임의의 3차원의 파동을 만들어 낼 수 있기 때문에 마치 벡터의 기저 벡터(basis vector)처럼 평면파가 기저의 노릇을 하기 때문에 특별히 중요하다.

아래 그림은 이러한 평면파가 공간을 따라 진행하는 모습을 보여주고 있다. 평면파는 사실 그 파면 자체가 무한히 넓은 평면을 이루고 있지만 그림에서는 그 일부분의 사각형만을 보여주고 있다.

평면파의 표현

임의의 3차원 파동은 공간좌표 $(x,y,z)$와 $t$의 함수로서 $\Psi (x,y,z,t)=\Psi (\mathbf{r}, t)$로 나타낼 수 있다. 이 파동함수는 3차원의 파동방정식을 만족해야 하고, 이로부터 파동함수를 구하는 문제는 1차원처럼 만만하지 않다. 따라서 3차원의 여러 파동 중에서 조화평면파의 표현을 우선 찾아 보기로 하자.

앞의 그림에서 보이는 것처럼 이러한 평면파는 그 파가 진행하는 방향을 $x$ 방향으로 삼으면 파동함수는 공간의 좌표 중에 $y,z$에 무관하게 주어지고 오직 $x$ 하나만을 변수로 갖는 1차원의 파동과 다름이 없다. 즉 $x$ 방향으로 진행하는 평면파는, $$\Psi(x,t) = A\sin(kx-\omega t)$$ 이 표현에서는 위상 $\varepsilon$는 0로 두어 무시하였다. 이 좌표계를 회전시켜서 앞의 $x$ 축이 임의의 방향 $(k_x,k_y,k_z)$을 향하도록 하는 새로운 좌표를 생각하자. 이때 $(k_x,k_y,k_z)$는 단지 회전 방향만 나타내기 때문에 크기는 마음대로 정할 수 있어 이를 앞 식에서의 파수 $k$의 크기를 갖도록 정하자. 이렇게 하면 변화된 새로운 좌표계에서 $\mathbf{k}$ 벡터는 파가 진행하는 방향을 나타내게 되고 또한 이의 크기 $k$는 파수의 의미를 가지게 될 것이다.

따라서 $kx=(k,0,0)\cdot (x,0,0)$는 좌표의 회전에 대해 불변량이므로 새로운 좌표계에서 $\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}$로 표현될 것이다. $$\Psi(x,y,z,t) = A\sin(k_x x + k_y y + k_z z-\omega t) = A\sin(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t)$$ $\mathbf{k}$ 는 파벡터(wave vector)로서 그 방향은 파동이 진행하는 방향을, 그 크기 $k$는 파수로서 $2\pi/\lambda$가 된다.

_ 진동수_ 불변량_ 위상_ 음파_ 파동

3차원의 파동방정식

앞에서 줄의 경우에 대한 파동방정식이 $$\frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 \Psi}{\partial t^2}$$ 으로 나타내어지는 것을 보았다. 여기서 $x$ 가 들어간 형식과 대등하게 $y,z$를 포함하면서 이들에 무관하게 $\Psi$가 주어지는 경우 다시 1차원의 경우로 회귀하는 형식의 파동방정식을 다음처럼 구성해 볼 수 있다. $$\frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \Psi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \Psi}{\partial z^2} = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 \Psi}{\partial t^2}$$ 이 파동방정식은 2계미분방정식이어서 초기의 $\Psi$와 $\partial \Psi/ \partial t$의 값에 대한 정보가 있으면 전 공간, 시간에 대한 $\Psi$는 기본적으로 찾아질 수 있게 된다.

한편 앞에서의 조화 평면파의 파동함수를 이 방정식에 적용해 보면 $k$가 다음처럼 $v$와 연관되어야 하는 것을 확인할 수 있다. $$v = \frac{\omega}{k}$$

[질문1] 3차원 조화평면파동으로서 그 파벡터는 $\mathbf{k} = 3 \hat{i} + 3 \hat{j}$이고 각진동수는 2 이고, 진폭은 10 이다. 값은 SI 단위로 나타내었다고 할 때 이 파동의 파동함수를 식으로 표현하라.

_ 각진동수_ 진폭_ 파동