가우스 법칙의 응용

가우스 법칙을 이용한 전기장의 계산

가우스 법칙은 근원이 되는 전하와 이로부터 만들어지는 전기장과의 관계를 설명하는 법칙으로 전자기학에서의 4개의 중요한 기본 관계에 속하는 것이지만 이 법칙은 실용적인 면에서도 아주 중요하다. 즉 전하의 분포가 점대칭(구형대칭)이나 선대칭, 면대칭을 하고 있는 경우 가우스 적분면을 잘 설정하면 면적적분의 값이 적분계산을 하지 않고도 유도되어 한 지점에서의 전기장을 쉽게 계산할 수 있는 경우가 있다.

_ 가우스 법칙_ 전기장_ 전하

점대칭 전하분포

전하가 점대칭으로 분포된 경우 전기장은 중심점에서 방사상으로 향한다.

점전하가 있으면 이로부터 생겨나는 전기장은 그 점을 중심으로 방사상으로 퍼져나가는 방향으로 형성될 것이다. 이는 대칭성에 의한 것으로 전기장은 오직 전하에 의해서만 생겨나고 따라서 전기장의 방향이 방사상이 아닌 다른 방향으로 놓일 근거가 없기 때문이다. 점전하에서처럼 전하가 점대칭을 하고 있어 그 점을 중심으로한 임의의 회전에서도 상황이 변하지 않은 분포인 경우에는 역시 전기장이 방사상으로 나가는 방향이 된다.

구형 전하분포

이의 간단한 예로서 반경 $R$인 구 속에 전하가 균일하게 충만되어 있는 경우를 생각해 보자. 이것은 마치 지구에 의한 중력장을 계산하는 것과 비슷한 문제로서 그때처럼 구의 각 부위에 있는 전하가 만드는 전기장의 요소를 전부 합성하는 방법으로 계산한다면 만만치 않는 적분문제가 된다. 그러나 점대칭을 고려하여 가우스 법칙으로 이를 풀이 하게 되면 아주 간단하게 문제가 풀린다.

우선 전하로 채워져 있는 구의 중심에서 반경 $r$ 떨어진 지점의 전기장을 구해보자. 이를 위하여 위 그림처럼 반경 $r$인 구의 껍질을 가우스 적분면으로 삼으면 이 면 위에서의 전기장은 면에 항상 수직이다. 또한 각 면에서의 전기장의 크기는 구 표면 전체에 걸쳐서 동일하므로 가우스 적분은 다음과 같이 간단하게 계산된다. \[ \oint_{\mathrm{sphere}} \vec{E} \cdot d \vec{A} = \oint_{\mathrm{sphere}} EdA = E\oint_{\mathrm{sphere}}dA = [4\pi r^2]E \] 이 적분 결과는 가우스 법칙에 따라서 그 내부의 전하량에 관계한다. 여기서 $r$ 이 $R$ 보다 커서 모든 전하가 가우스 적분면 위에 있다면 전하량은 $Q$이다. 따라서 \[ [4\pi r^2]E = \frac{Q}{\varepsilon_0} \] \[ \therefore E = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 r^2} \]

전하 $Q$가 반경 $R$인 구 속에서 균일하게 분포하고 있는 것을 가정하기는 했지만 앞에서처럼 $R$보다 멀리 떨어진 지점에서의 전기장을 구하는 경우에는 전하의 배치가 중앙에서 거리에 따라 달리, 층층이 다르게 주어지더라도 같은 결과를 주는 것을 알 수 있다. 단지 중심점에 대한 점대칭이기만 하다면 전하가 어떻게 배치되든지 관계없이 바깥에서 느끼는 것은 모든 전하가 마치 중심에 밀집되어 있는 경우와 같다는 것이다. 이는 뉴턴이 만유인력의 법칙을 유도할 때 지구의 중력이 지구 중앙에 모든 질량이 쏠려 있는 것처럼 행동하는 것을 어렵게 증명해 내었던 것을 여기서는 가우스 법칙으로 간단하게 알아내었다. 만유인력의 법칙에서도 전기장과 비슷하게 중력장을 정의할 수 있으며 또한 가우스법칙을 비슷한 형태로 구성할 수 있다.

한편 지구 내부를 굴로 파고 들어갈 때의 문제와 유사하게 전하 속으로 침투해 들어갈 때의 전기장을 구해보도록 하자. 이 경우 가우스 표면이 감싸고 있는 전하량은 점점 줄어 들게 된다. 구에서의 전하의 분포가 균일하다면 반경 $r$ 내부의 전하량은 그 체적에 비례하여 가우스 법칙의 적용결과는 다음과 같다. \[ [4\pi r^2]E = \frac{Q}{\varepsilon_0} \frac{r^3}{R^3} \] \[ \therefore E = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 R^3} r \]

_ 가우스 법칙_ 전기장_ 전하_ 대전

구 바깥의 구면

다음 그림처럼 전하 $Q$로 대전된 구의 바깥에 $-Q$로 대전된 구껍질이 중심을 공동으로 하여 놓여 있는 경우 구와 구껍질 사이에 형성되는 전기장은 어떨까? 전하는 중심에 대해 점대칭으로 분포되어 있다고 하자.

점대칭의 분포에서는 언제나 그 점을 중심으로 하는 가우스 면을 적분면으로 하여 가우스 법칙을 적용하면 된다. 이 경우 구껍질의 바깥에서는 내부의 총전하가 0 이므로 전기장이 존재하지 않는다. 한편 내부에서는 구껍질 전하의 기여가 없으므로 내부의 구에 의한 효과만 나타난다.

_ 가우스 법칙_ 가우스 면_ 전기장_ 전하_ 대전