구면경계에서의 굴절

실험목적

빛이 구면경계를 만났을 때 굴절이 일어나는 원리를 이해한다.

이론

구면경계에서의 빛의 굴절

유리를 연마하여 오목하거나 볼록한 구면을 쉽게 만들 수 있다. 이 구면에 빛이 비추어지면 구면과 만나는 위치에 따라 입사각이 달라서 굴절이 특이한 형태로 이루어 질 것이다. 구면의 곡률이나 굴절률에 따라 한 점에서 나오는 빛은 다시 한 점에 모이게 된다든지, 평행광선이 방사상으로 퍼지는 광선으로 되기도 한다.

하나의 유리 구면의 경계면만 있는 경우는 빛이 모여든 지점이 유리의 내부가 되어 이 빛을 바로 이용할 수는 없지만 이 구면에서의 굴절의 법칙을 이해하면 두 개의 구면의 경계를 가진 렌즈에서의 굴절도 쉽게 이해할 수 있을 것이다.

이러한 구면경계, 렌즈, 거울 등을 이용하여 광선의 진행경로를 계산하고 상이 맺혀지는 원리를 연구하여 카메라, 망원경 등 광학기구를 고안하는 분야를 기하광학이라 한다. 이 기하광학은 거의 모든 내용이 굴절의 법칙(스넬의 법칙)과 반사의 법칙으로부터 출발하므로 어려운 수학의 도움 없이도 쉽게 이해할 수 있다.

구면경계의 결상 법칙

아래 그림에서 구면에 입사하는 파가 굴절하는 모습을 보이고 있다. 여기에서 가 작은 조건에서는 한점 S에서 나온 여러 갈래의 광선이 한점 P에서 모이게 된다. S에 대한 P의 위치는 굴절의 법칙으로 다음과 같이 구할 수 있다.

우선 A를 통과하는 광선에 굴절의 법칙을 적용시켜보자.

여기서 입사각 와 굴절각 가 일반적으로 임의의 값을 가질 수 있지만 그 경우에는 식을 전개하는 것이 근사식을 쓰지않고는 의미있는 전개를 하기에 곤란하다. 그러나 보통의 경우 위 그림에서와 달리 구면의 곡률이 크지 않아 평면에 가깝고, 또한 그 렌즈로부터 상당한 거리 떨어져 있는 경우라면 입사각과 굴절각이 거의 0에 가깝다. 이러한 조건에서는 로 놓을 수 있어 이후에 전개하는 것과 같이 단순한 결과를 얻을 수 있다. 이러한 조건의 광선을 근축광선(paraxial ray)이라고 한다. 한편 는 에 대한 1차 근사식이 되어 2차 근사까지 취하거나 그 이상의 차수까지 취하면 근축광선에서 벗어나는 보다 일반적인 경우에 대한 취급이 가능해 질 것이다.

로 부터 앞의 식은 다음과 같이 정리된다.

한편 그림에서 , 이고, 앞의 굴절의 법칙에서 나온 식에 대입하면 이 된다. 각들이 모두 작다고 가정하면

이 되어 S의 위치에 대한 P의 위치는 다음과 같이 된다.

여기서 에 대한 가 나 A 지점의 위치에 관계없이 결정된는 것으로 S에서 나온 빛이 한점 P에 모여드는 것을 알 수 있다. 이 한점광원이 한 점에 모여들어 점광원으로 재생되는 것을 실상이라 한다.