슈뢰딩거 방정식

실험목적

다양한 위치에너지의 영향에서 물질파의 행동이 어떻게 달라지는지를 슈뢰딩거 방정식의 수치해석 결과를 시시각각의 파동함수의 그래프로서 시각적으로 관찰한다. 이로써 시간에 의존하는 슈뢰딩거 방정식을 따르는 입자의 행동양상을 이해한다.

이론

슈뢰딩거 파동방정식

물질파도 여느 파동처럼 파동방정식을 만족하며, 이를 슈뢰딩거 파동방정식(Schrodinger wave equation) 또는 슈뢰딩거 방정식(Schrodinger equation)이라 한다.

슈뢰딩거 방정식은 1926년 슈뢰딩거(E. Schrodinger)에 의해 만들어 졌다. 슈뢰딩거는 보어의 대응원리에 따라서 이 방정식으로 기술되는 물체의 운동이 다음의 고전역학에서의 에너지 관계식을 따를 것으로 생각하여 이로부터 적합한 파동방정식을 만들 수 있었다.

물체의 에너지 = 운동에너지 + 위치에너지

'물질파운동 실험'에서 자유입자에 대해 분산관계식을 유도했던 절차와 비슷하게 이에 대한 관계를 유도해 보면

이 식에 평면파의 파동함수를 적용하면 다음의 슈뢰딩거 방정식이 나온다.

이 방정식으로 물체가 어떠한 상황에 놓여 있건 물리적으로 가능한 상태에 놓여 있다면 시간이 경과되거나 과거로 거슬러 갈 때에 대한 파동함수는 존재하게 되고 원칙적으로는 구해낼 수도 있다. 그러나 해석적으로 이 방정식을 풀이할 수 있는 경우는 계가 단순하고 이상적으로 주어진 몇몇 예에 불과하다. 거의 대부분의 경우에는 이와는 달리 물리적인 계가 복잡하여 컴퓨터를 이용한 수치해석으로 구하게 되고, 오늘날의 컴퓨터의 수치 처리능력의 향상, 수치해석 기법의 발달에 힘입어 많은 성과를 거두고 있다.

이렇게 고전역학의 토대 위에 물질파, 대응원리 등 혁신적인 발상을 가지고 간단하게 시작한 이 파동방정식은 실제의 시공간의 입자들에 대한 3차원의 방정식으로, 빛의 속도에 가깝게 진행할 때의 효과를 가미한 디랙(P. A. M. Dirac)의 상대론적 양자역학으로 발전하여 자연을 보는 안목을 바꾸어 놓았다. 아울러 양자역학이라 하는 새로운 학문이 시작되어 물리나 화학 등의 자연과학 전반적인 영역에 지대한 영향을 미치게 되었다.

2, 3차원의 슈뢰딩거 방정식

2차원의 경우에는 앞에서의 와 더불어 가 대등한 자격으로 도입된다. 즉

3차원의 경우에는 나 에 대한 편미분 항에 에 대한 편미분이 추가된다.

여기서 는 라플라스 연산자로서 의 직교좌표계에서 표현하면 다음과 같다.