분자의 공유결합

프로그램

아래 프로그램은 두 원자가 가까이 접근했을때 에너지 준위가 낮아지는 것을 파동함수의 해석으로 보여준다. 처음에 나타나는 화면은 두 퍼텐셜 우물이 가까이 놓여 있는 것으로 바닥상태와 첫째 여기상태의 확률밀도함수를 보여준다. 확률밀도는 바닥상태를 푸른 색조로 위 방향으로, 첫째 여기상태를 붉은 색조로 아래 방향으로 나타낸다. 그리고 모두 동일한 색조로 에너지 준위의 눈금과 함께 값을 eV 단위로 나타낸다. 각각의 퍼텐셜 우물의 깊이는 100 eV 이며, 아래의 슬라이더를 통해 이들의 거리를 nm 단위로 조절하면 이에따라 에너지 준위와 확률밀도가 달라지는 것을 즉각 계산하여 반영한다. 오른쪽의 체크박스를 선택하여, 수소원자의 퍼텐셜로, 둘째, 세째 여기상태 보기로, 파동함수 보기로 설정하여 보다 다양한 상황에 대해 실험해 볼 수 있다.

1. 프로그램은 1차원 양자역학의 정상상태를 수치해석으로 풀이하며, 이 결과를 즉각 화면에 나타낸다.

2. 화면의 영역 약 1nm의 범위에서 전자가 뛰노는 상황으로 하였다. 또한 가장자리의 파동함수를 0으로 강제하는 경계조건을 설정하여 가장자리에 무한히 높은 퍼텐셜이 설정된 것으로 생각할 수 있다. 그리고 내부의 퍼텐셜 함수는 회색조로 진하게 그렸다. 눈금이 표시된 기준선은 축으로 0의 에너지이다.

3. '유사 수소 퍼텐셜'을 선택하지 않는 경우는 각각의 퍼텐셜이 깊이가 100 eV, 폭이 2 nm 인 퍼텐셜 우물이고, 선택하는 경우는 전자가 서로 떨이진 두 양성자로부터 느끼는 퍼텐셜 그대로이다. 단 이때 양성자에 아주 가까운 경우는 유한한 깊이로 유지하였다.

4. '유사 수소 퍼텐셜'의 경우, 대체로 3차원의 수소 둘이 접근하는 상황과 유사하나 이 프로그램은 1차원으로 3차원의 실제 수소원자에 비하여 바닥상태가 훨씬 더 낮은 값으로 설정된다. (이에 대한 자세한 해석은 __'3차원 중심력장의 문제'__를 참고하라.)

5. 파동함수나 확률밀도함수는 모두 규격화가 아니라 최대값을 일정하게 두었으며, 확률밀도함수는 상태에 따라 방향을 달리하여 잘 식별되도록 하였다. '파동함수 보기'를 선택하면 중앙쯤 상태에 따라 층을 달리하여 표현하였다.

6. '고차 보기'를 선택하면 셋째 여기상태까지를 계산하여 그 결과를 보여준다.

7. '두 원자간의 거리'는 왼쪽 슬라이더로 0.5 ~ 0 nm 로 조절하며, 계산시간이 약산 소요되어 컴퓨터 성능에 따라 행동이 굼뜨기도 한다.

8. 각 상태의 에너지 고유값은 수평선으로 나타내었고, 확률밀도함수는 그것을 기점으로 하여 수치와 함께 나타내었다.

실험 방법

분자의 공유결합 실험

1. 화면이 처음 나타나는 조건에서 슬라이더를 좌우로 움직여서 에너지 고유값이 두 퍼텐셜 우물이 떨어진 거리에 따라 어떻게 달라지는지 관찰해 보자. 특히 가까운 거리에 다가갔을때 거의 같았던 두 에너지 고유값이 분리되기 시작한다. 이때 두 확률밀도함수가 취하는 행동을 잘 관찰해 보자.

2. '파동함수 보기'를 선택하여 1의 과정을 되풀이 하자. 이때 각각의 파동함수가 서로 어떤 대칭성을 가지고 있는가? 대칭성은 에너지 값에 어떤 영향을 주는가?

3. 1의 과정에서 서로 떨어진 거리를 가로축으로, 에너지 고유값을 세로축으로 하여 그래프를 그려보자. 만일 이러한 퍼텐셜 우물에 한 입자가 놀고 있을때 각각의 거리에서 두 퍼텐셜 서로에게 작용하게 되는 힘을 추정해 보자.

4. '고차 보기'를 선택하여 전체적으로 4개의 준위에 대해 위와 비슷한 절차로 에너지 준위값, 확률밀도함수, 파동함수를 관찰해 보자.

5. '유사 수소 퍼텐셜'을 선택하여 1 ~ 4의 과정을 반복하자.

6. '유사 수소 퍼텐셜'의 경우에는 퍼텐셜의 중심에 각각 하나의 양성자가 위치하고 있다고 하자. 이 경우 두 양성자는 서로 반발력이 작용하여 전자의 공유에 의해 가까워지려는 경향과 비기는 위치에서 분자를 형성할 것으로 기대한다. 4개의 상태 중에서 어느 것이 그러한 가능성이 있을까? 그리고 이때 결합거리는 얼마가 될까? (앞의 H₂⁺의 예를 참고할 수 있다. '핵 사이의 거리에 따른 H₂⁺의 에너지'의 그래프와 비슷한 그래프를 그려서 해석하자)