상대성이론의 역설

차고와 막대기의 역설

길다란 차고가 있다고 하자. 이 차고의 길이는 40m이고, 앞과 뒤에는 리모콘으로 동시에 문을 여닫을 수 있도록 되어 있다. 이때 80m의 길이의 막대기를 로렌츠 상수가 2보다 조금 큰 속력으로 차고 방향으로 돌진시킨다면 차고 입장에서의 막대기의 길이는 로렌츠 수축에 의해 40m가 채 되지 않은 길이로 수축할 것이고 순간적으로 앞뒤 두 문을 닫았다가 열게 된다면 잠깐이나마 막대기를 차고에 완전히 가두는 상황이 일어나게 된다. 마치 큰 코끼리를 작은 냉장고에 넣는 일이 가능해지는 것처럼 보인다. 어떻게 긴 물건을 짧은 용기에 가두어 둘 수 있을까? 만일 가두어진 물건이 정지하게 된다면 무슨 일이 일어날까?

아래 그림은 이와 마찬가지의 상황을 기차와 터널로 바꾼 프로그램이다. 이를 여러모로 운용해 보아서 앞의 차고와 막대기의 역설 문제를 해결해 보자.

위 그림을 통해서 차고와 막대기의 역설에 대한 해결의 실마리를 찾을 수 있었을 것이다.

이 문제는 차고에 정지해 있는 입장과 막대기에 정지해 있는 입장으로 나누어 해석해 볼 수 있다. 차고에서 볼 때 막대기의 앞쪽 끝이 차고의 건너편에 있는 출구 문 앞에 놓여진 사건과, 막대기의 뒤쪽 끝이 차고의 가까운 입구 문을 막 통과한 사건 등 두 사건이 각 관성틀에서 어떤 시공간의 위치를 차지하는가를 따져볼 수 있을 것이다. 먼저 차고 옆에서 정지한 채로 의 속력으로 움직이는 막대기를 관찰하는 사람의 입장에서 생각해보자. 이 관찰자는 자기쪽으로 다가오는 막대기를 볼 수 있을 것이고 이 속도에 대한 로렌츠 상수 이므로 고유길이 80m의 막대기는 40m보다 약간 작은 길이로 관측될 것이다. 따라서 그 막대기의 앞쪽 건너편 출구문 앞에 서는 순간 뒤쪽은 입구 문을 막 통과하여 차고속으로 막대기의 모든 것이 다 들어 온것을 볼 수 있고, 이때 순간적으로 차고의 문을 닫는다면 차고의 내부에 막대기가 갇히게 된다. 물론 그대로 두면 막대기의 앞이 문과 충돌할 것이므로 빠르게 문을 열어서 막대기가 통과 시킨다고 하자.

만일에 이 일을 막대기 위에 타고 있거나 같은 속력으로 움직이는 관찰자의 입장에서는 어떻게 보일까? 이 관찰자의 입장에서 막대기는 정지해 있으므로 그 길이 그대로 80m로 인식될 것이다. 반면에 차고가 맹렬한 속력으로 돌진해 오기 때문에 원래의 40m가 채 되지 않는 20m보다 작게 보일 것이다. 이때 앞에서 설명한대로 차고의 관찰자가 두 문을 닫는다면 80m가 20m에 갇혀버리는 믿어지지 않은 일이 일어나는 것일까?

이를 차고와 막대기의 역설(barn-pole paradox)라고 부른다. 앞에서의 쌍둥이 역설과 마찬가지로 이 경우에도 상대론으로 완벽하게 해석이 가능해진다. 이 혼란은 동시성 (simultaneity)을 잘못 이해한 때문에 생긴 것으로 앞뒤 문을 동시에 닫았다고 하는 것은 차고에 정지한 계의 입장일 따름이다. 앞 문이 닫히는 것과 뒤 문이 닫히는 것은 차고에 정지한 관찰자 외에 대해서는 동시에 일어난 사건이 아니다.

막대기와 같이 움직이는 관찰자는 막대기의 앞쪽 끝이 차고의 뒤 문을 막 빠져나갈려는 사건이 막대기의 뒤쪽 끝이 차고의 앞 문을 막 통과하여 들어오는 것보다 더 이전에 일어나게 된다. 막대기의 앞쪽 끝이 출구를 완전히 빠져나간 후에 뒤쪽이 입구를 막 통과하여 차고 속으로 들어오는 것이다.

만일에 차고 관찰자가 막대기가 완전히 차고 속을 진입한 이후에 문 두 개를 모두 닫아버리고 다시 열지 않는다면 40m의 차고는 80m의 막대기를 속에 실제로 가두고 있게 될까?