상대성이론의 역설

쌍둥이 역설

빠른 속력으로 운동하는 물체는 정지한 경우에 비하여 시간이 더디게 간다는 사실로부터 우리는 광속에 가까운 속력으로 비행하는 우주여행에서 우주비행사는 나이를 천천히 먹는다는 것을 생각해 볼 수 있을 것이다. 물론 지금 현재의 우주왕복선이나 달을 왕복하는 우주선의 경우 빛의 속력에 비하여 훨씬 느린 속력을 가지고 있어 이므로 시간지연이나 길이수축 등의 상대론의 효과를 거의 무시할 수 있어 현재의 수준으로 이러한 고려는 무의미해 보이지만 언젠가 우주선의 속력이 빛의 속력에 필적할 정도가 된다면 여행에서 시간이 느리게 간다는 것은 아주 이상한 일이 될 것이다.

우주선이 빛의 속력의 0.9정도에 이르게 된다면 가 되어 시간의 흐름이 반도 되지 않는다. 이러한 상황에서 지구에서 100년이 흘렀다면 이 비행선에서는 43년의 시간이 흘러 비행사가 20세에 여행을 시작했다면 환갑을 막 넘겼을 것이다. 또한 이때 지구로부터 90광년 떨어진 지점을 비행하고 있을 것이다.

만일 그 우주 비행사가 지구에서 37광년 떨어진 별인 아크투루스 (Arcturus)를 다녀온다면 36년의 세월이 흘러 막 56세가 되어 비록 머리가 희끗희끗 해지긴 하지만 우주비행을 완수하는데는 큰 문제가 없을 정도로 아주 늙지는 않았다! 그러나 그동안 지구에서는 82년의 세월이 흘러 자기가 알았던 사람들을 만날 수 있을 가능성은 거의 없을 것이다. 만일에 그 우주 비행사가 쌍둥이였다면 지구에 남겨둔 쌍둥이 형제는 102세가 되어 살아있더라도 46년이나 더 늙어버린 모습을 보고 아연할 수 밖에 없을 것이다.

우주비행사는 자신의 시간이 더디게 가는 것을 느끼지 못한다. 신체 대사나 사고 등 시간과 더불어 진행되는 어떠한 것들도 이 시간 흐름의 리듬에 맞추어져 있어서 비행사에게는 제대로 시간이 흐를 따름이다.

의 속력으로 지구에서의 시간으로 100년을 비행했을 때 90광년을 이동하게 되는데 실제로 비행사의 입장에서는 100년이 걸린 것이 아니라 43년에 걸쳐서 비행을 하였고, 자신의 우주선의 계기판에서 읽혀지는 속력은 가 아니라 이상의 속력으로 비행한 것이 될 것이다.

이렇게 된 것은 비행사의 입장에서 90광년의 거리가 로렌츠 수축에 의해서 짧아진 때문이다. 즉 90광년의 거리는 마치 축지법을 쓰기라도 한 것처럼 40광년 정도로 단축되었다. 지금까지의 상황은 상대론에 부합되는 것으로 비록 우주비행에서 이를 실증하지는 못했지만 나름대로 빠른 속도로 움직이는 비행기에 세슘 원자시계 를 실어서 아주 작은 값이지만 지상의 시계에 비하여 느리게 가는 것을 검증하였다.

그러나 이에 대하여 사사건건 상대론에 대하여 시비를 거는 일종의 절대론자는 상대성 원리의 가설을 동원하여 이에 대한 모순점을 지적하였다. 즉 속도가 두 계에 대하여 상대적이라면 지구에 남겨진 쌍둥이 형제 (A라고 하자)가 정지해 있고, 다는 형제 (B라 하자)가 움직였다고 생각하는 것과 마찬가지로 B가 정지해 있고, A가 같은 속력으로 움직였다고 생각할 수 도 있지 않겠는가? A의 입장이나 B의 입장이 전적으로 대등하므로 둘이 지구상에서 다시 만났을 때 서로 나이가 같아야 하고 따라서 상대론은 자가당착적인 모순을 내포하는 틀린 이론이라는 것이다.

이 문제는 A와 B의 입장이 비대칭적이라는 것을 생각한다면 해결이 된다. B는 지구로 되돌아오기 위해서 등속으로 멀어지는 쪽으로 운행하는 관성기준틀을 버리고 지구 쪽으로 같은 속력으로 달려오는 새로운 기준틀로 갈아타게 된다. 따라서 지구에 대하여 정지하고 있는 기준계에 고정된 채로 있는 A와는 입장이 같지 않는 것이다. 상대론에서의 상대성 원리는 오직 관성기준틀 사이에만 적용되는 것이기 때문이다. 이러한 점에서 이를 역설(paradox), 즉 모순처럼 보이지만 노자의 "도를 도라고 하면 도가 아니다"라는 말처럼 진리를 담고 있는 것이다. 아직까지도 이 쌍둥이 역설을 비롯하여 다른 모순을 지적하는 물리학자나 철학자들이 남아 있으나 지금까지의 모든 실험에서 상대론은 철저하게 검증이 되었고 오히려 새로운 이론이 나왔을 때 상대론에 부합되느냐를 따지는 것이 이 새 이론의 정당성을 확인하는 수단이 되고 있을 정도가 되었다.

쌍둥이 역설의 본질과 해소

지상에 남아있는 A의 입장에 B의 시계가 느리게 가고 따라서 B의 나이가 자신보다 더 젊다는 것은 받아들이는데 큰 무리는 없다. 그러나 우주선을 타고 있는 B의 입장에서 A를 생각한다면 바로 모순에 휩싸여 버린다. 이것이 실제로 쌍둥이 역설의 본질이라고 할 수 있다.

우주선을 타고 있는 B는, 지구가 자기로부터 상대적으로 멀어지때, 운동하는 지구의 시계가 자기의 시계보다 느리게 갈 것으로 생각한다. B가 되돌아 오는 과정에서도 지구는 상대적으로 가까워지는 운동을 하므로 역시 지구의 시계가 느리게 갈 것으로 생각한다. 따라서 B는, A의 시계가 느리게 가고, 우주여행을 끝내고 둘이 만났을 때 B는 자기보다 훨씬 늙어버린 A를 보게 될 것을 기대한다!

이 과정을 진지하게 살펴보기 위해 각각이 펄스를 상대에게 보내서 서로의 시간진행이 어떻게 되는지를 알려준다고 하자. 즉 A와 B는 각각 1년(혹은 1초)에 하나의 펄스 상대에게 보내는 상황을 가정한다. 그리고 B에게 지구에서 시간의 흐름이 더디게 보는지, 아니면 빠르게 보는지를 사고실험 (thought experiment)으로 알아본다.

B 입장에서 A의 시계가 느리게 간다면 어떻게 B는 그 자신의 빠른 시계에서 나오는 펄스의 수보다 많은 시계를 느린 시계에서 받을 수 있을 것인가?

다음 프로그램은 이러한 과정을 그림으로 보여준다. 그래프는 지구 입장에서의 시공간 좌표계 이다. 여기서 왼편의 푸른색 직선은 지구의 세계선 이고, 녹색으로 표시한 녹색의 꺾어진 직선은 우주선의 세계선이다.

'동작보기' 버튼을 누르면 시간이 흐르고 우주선은 설정된 속도로 20광년 떨어진 다른 행성을 왕복하게 된다. 왕복운동을 마치는데 지구의 시계로는 의 시간이 흐르고, 우주선의 시계로는 의 시간이 흐른다. 왕복운동의 과정에서 지구나 우주선 모두 자신의 시간으로 1년 마다 펄스를 발생시켜 상대에게 보내고 있으며 이는 빛이 이동하는 시간이 지난 후에 상대측에 도달한다. 이때 각각의 펄스의 간격은 도플러 효과 때문에 멀어질 때에는 간격이 늘어나고, 다가갈 때에는 간격이 줄어든다.

이 프로그램을 통해서 지구에서 보았을 때 우주선의 왕복 전 과정의 시간 흐름이 자신에 비하여 더디게 가는 것을 알 수 있다. 물론 우주선이 멀어질 때와 가까워질 때의 시간의 흐름이 각각 더 더디게와 빠르게로 관찰되기도 하지만 총체적인 시간의 경과는 시간팽창의 결과와 일치한다. 이 입장은 우주선에서 보았을 때에도 마찬가지이다. 우주선에서 자신의 시간은 일정한 비율로 진행되지만 지구의 시간의 진행은 처음에는 더디게 관찰되지만 되돌아가는 과정에서는 급격하게 빠른 것으로 관찰된다.

상대의 시간의 흐름을 일정한 간격으로 발생하는 펄스의 도착시간으로 측정하는 것은 단지 측정의 문제라고 말할 수 있을지 모른다. 그러나 운동하는 물체의 한 지점에서 일어나는 두 사건이 나에게는 다른 지점에서 일어나는 것으로 관찰되지만 그 시간간격이 길어져 보인다 는 시간팽창 도 역시 측정의 문제이다. 여기서 도플러 효과가 끼어든 펄스의 간격으로 시간의 흐름을 비교해 본 것은 관성계를 갈아 탄 우주선 에 대해 한 관성계에 대해 성립된 시간팽창을 동일한 형태로 적용하기 곤란하기 때문이다.

우주인이 받는 펄스의 수 계산

여기서 우주선이 지구로 부터 받는 펄스의 수를 도플러 효과로 계산해 보자. 정지상태에서 내는 펄스의 진동수를 라 하면, 우주선이 지구에서 멀어지거나 가까워질 때 지구가 내는 펄스의 진동수는 각각 다음과 같다.

(1)

(2)

한편 우주선의 편도여행 시간은 멀어질 때나 가까워질 때 모두

(3)

이다. 여기서 는 지구에서 별까지의 거리로서 우주선 입장에서는 이 거리가 로렌츠 수축을 한 것으로 본다. 따라서 지구에서 보내진 펄스의 수는

(4)

이다. 이는 자신의 시계에 의한 펄스의 수

(5)

보다 의 비율만큼 많은 펄스를 지구로부터 받은 것이고, 아울러 B가 A에 비해서 나이를 덜 먹었다는 상대론의 결과와 부합된다.

쌍둥이 역설의 확인실험

쌍둥이 역설은 몇 가지의 실제의 실험을 통하여 역설이 아닌 것으로 판명되었다. 역설에서 주장하는 것처럼 실제로 우주여행을 통해서 검증하는 것은 불가능하지만 시간의 경과를 정밀하게 측정하는 원자시계 등을 이용하여 느린 속도에서 미세하게 변하되는 시간팽창의 효과를 여러 측면에서 측정할 수 있었다.

그 중 대표적인 것으로 1977년 휴대용 원자시계 네 개를 여객기에 태워 서로 반대방향으로 지구를 한 바퀴 돌게 한 실험이 있다. 여객기의 시계와 지상에 그대로 둔 시계의 시간 값을 비교한 결과 비행기의 시간이 상대론의 예측에서 10% 이내의 오차로 느리게 간 것을 확인할 수 있었다. 이 외에도 원자의 열운동에 의해 시간이 더디게 가는 현상도 관측이 되었다.