로렌츠 변환

속도의 변환

앞에서의 로렌츠 변환을 이용하여 서로 다른 두 기준계에서 관측하는 물체의 속도가 어떻게 관련되어 있는 지를 알아보자.

우선 S' 좌표계는 S 좌표계에 대하여 의 속도로 이동하고 있다고 하자. 여기서 S 좌표계에 대해서 의 속도로 이동하는 물체의 속도가 S' 좌표계에서는 어떻게 측정되는 지를 알아보자.

이를 위하여 로렌츠 변환에서 위치나 시간의 미소 변화량 과 의 변환식을 써보면,

(1)

(2)

이 된다. 그리고 위 두 식을 나누어 주면,

(3)

오른쪽 항의 분자와 분모를 으로 나누어 주면

(4)

이 되어 속도의 변환관계는 다음과 같이 정리된다.

(5)

S' 계에서 S 계로의 변환관계를 이용하면 다음과 같이 이의 역변환 관계도 얻게된다. 즉,

(6)

이 되어 상대성원리가 속도변환에서도 성립된다. 여기서 과 를 잘 분간하여야 한다. 는 두 좌표계의 상대적인 속도인 반면에 와 는 한 물체에 대해서 서로 다른 두 좌표계에서 관측한 속도값이다.

위 관계에서 S 좌표계에서 본 물체가 빛이라면 가 되어 이를 위 식에 대입하면,

(7)

이 되어 어느 좌표계에서 보더라도 빛의 속도는 항상 일정하다는 광속불변의 원리가 다시 확인된다.