로렌츠 변환

시공간 좌표

보통 역학적인 문제를 다루는데 있어 공간의 좌표계 위에 물체를 나타내고, 시간의 흐름에 따라 물체가 이동하는 것을 궤적으로 표시하게 되는데 상대론에서는 시간과 공간을 통합하여 나타내는 것이 편리할 때가 많다. 이러한 시공간의 4차원 좌표계를 시공간 좌표 (spacetime coordinate)라 한다. 공간의 한 지점을 차지하고 있는 질점의 움직임은 이 시공간 좌표계에서 곡선을 그리게 되는데 이를 세계선 (world line)이라 한다.

한편 서로 방향으로 움직이는 좌표계에 대한 로렌츠 변환에서 와 는 변하지 않고 와 가 변환되므로 이들 변환관계를 잘 이해할 수 있도록 시공간 좌표를 와 만의 2차원 평면에서 나타내면 상대론의 여러 현상들을 도형으로 쉽게 이해할 수 있다.

아래 그림은 시공간 2차원 평면 위에 한 물체의 운동을 세계선으로 나타내는 것을 보여주고 있다.

위 그림에서는 공간과 시간의 축적을 m와 sec로 나타내었는데 시간의 축적을 로 나타내면 시간의 단위도 거리의 단위가 되고, 또한 로렌츠 변환관계도 다음과 같이 보다 깔끔한 형태가 된다.

(1)

(2)

여기서 시간 는 이전의 에 해당하고, 또한 는 빛의 속도를 단위로 한 S' 좌표계의 이동속도이다. 이제 시간과 공간의 변환이 대칭적으로 동일한 형태를 취하게 되었다. 때때로 시공간 좌표를 나타내는데는 이러한 단위를 이용할 것이며, 를 로, 를 로 표기하기도 한다.

시공간 좌표와 로렌츠 변환

다음 그림은 S의 시공간 좌표계 위에 이에대해 로 이동하는 S' 계의 좌표계를 표현한 것이다. 여기서 S 계의 1차원 공간축인 축은 수평으로 시간축인 축은 수직축으로 나타내어 직교자표계에서 나타내었고, 이에 따라 좌표 격자도 수직, 수평의 등간격으로 되어 있다.

이제 S 좌표계위에 S' 계의 좌표축과 아울러 동일한 및 의 값을 가진 선을 그리도록 한다. 예를 들어 축은 을 만족하므로 로 기울기가 인 직선이 된다. 마찬가지로 축은 을 만족하여 의 직선이 되고, 비슷하게 등- , 등- 의 선도 직선임을 알 수 있다.

S' 좌표계의 눈금 관찰

1. 화면이 처음 나타난 형태에서 S' 좌표계의 속도를 슬라이더로 변경시켜서 S' 좌표계의 눈금특성을 알아보자. 이때 S' 계의 축과 축이 S 좌표계 위에서 기울어진 직선이다. 마찬가지로 이 일정한 선은 축과 나란한 직선이 되고, 이 일정한 선은 축과 나란한 직선이 된다.

2. 앞의 로렌츠 변환관계식에서 S'의 격자선이 얼마나 기울어져 있는지와 눈금간격을 계산할 수 있다. 축은 에 대해 반시계방향으로, 축은 에 대해 같은 각도로 시계방향으로 기울어져 있다.

3. S' 계에서의 눈금도 S 계의 것과 다르다. 위 그림처럼 S 계를 직교좌표로 하고, 이 위에 S' 좌표계를 표현하면 이는 기울어진 좌표계가 뙨다. 또한 나 의 눈금은 S 계의 길이로 보았을때에는 배 길게 매겨진다.

4. 그래프 영역 위를 마우스로 선택하면 그 지점의 좌표값을 표현한다. 이렇게 선택된 값들이 로렌츠 변환과 역변환을 만족하는지 검증해 보자.

5. '빛의 세계선'을 선택하면 45도 기울어진 붉은 직선이 나타난다. 이를 통해서 빛의 속도가 두 좌표계에서 공통적으로 1(즉 )로 측정되는 것을 확인해 보자.

길이수축 해석하기

1. '길이수축보기' 버튼을 클릭하면 S 계나 S' 계에 고정된 물체가 시간이 지남에 따라 남기는 궤적을 노란 색조로 보여준다. 버튼 위의 'S 계 고정물체'를 체크하면 S 계의 원점으로부터 100의 길이를 가진 물체이고, 이를 선택하지 않으면 S' 계의 원점으로 부터 100의 길이를 가진 물체이다.

2. 다른 좌표계에 고정된 100의 물체는 자신의 좌표계의 눈금으로 길이를 재면 만큼 줄어든 것을 알 수 있다. 이것을 다양한 속도에 대해 확인해 보자. 이때 마우스를 이용하여 각 지점의 좌표값을 조회하면 보다 정확한 결과를 얻을 수 있다.

시간팽창 해석하기

1. '시간팽창보기'를 클릭하면 와 사이에 노랑으로 채워진 삼각형이 형성된다. 'S 계 동일지점'이 선택되어 있으면 두 사건이 S 계의 동일위치 에서 일어나고 있고, 사건의 간격 는 50 이다. 한편 이를 선택치 않으면 두 사건이 S' 계의 동일위치 에서 일어나고 있고 사건의 시간간격 는 50 이다. 이를 다른 좌표계에서는 시간이 배로 늘어나는 것을 확인할 수 있다.