중첩의 원리 

 

 

중첩의 원리는...

 

중첩의 원리는 파동이 만족하는 기본 원리이다.

 

 

마주오는 펄스형태의 파동 두 개가 만나게 되면 겹쳐지는 지역에서는 두 파가 합해져서 서로 교란되는 듯 보이지만 그 지역을 통과하고 나서는 아무일 도 없었던 것 처럼 원래의 모습을 그대로 유지하면서 진행하는 방향으로 나아가게 된다. 이는 두 파동이 만날 때 단순하게 변위등의 파동량이 더해지기는 하지만 서로에게 본질적인 영향은 주지 못하기 때문이다.

 

 

 

아래 그림을 보자. 왼편과 오른편에서 서로 마주보고 달려오는 여러가지 형태의 두 파가 중앙에서 만나고 있다. 중앙에서 두개가 겹칠 때에는 두 파의 원형이 무엇인지 알기 힘들정도로 복잡한 파가 되지만 시간이 흘러 두파가 분리되고 나면 원래의 파형을 간직하고 있다는 것을 알 수 있다. 이러한 것은 두 명이 긴줄의 끝을 마주잡고 각기 잠깐 흔들어 주어 마주보고 달려오는 펄스 형태의 파를 만들어서 이 파가 시간에 따라 진행하는 양상을 관측하여 확인할 수 있을 것이다. 또한 바다의 파도가 방파제에 부딫혀서 반사가 되고 있을 때 방파제로 밀려오는 파도와 반사되어 나가는 파도가 서로 빠져나가고 나면 원래의 파형을 유지하는 것을 관측할 수 있다.

 

 

 

 

 

이러한 점은 파동이 만족하는 파동방정식의 물리적인 해가 무수히 많은데 이의 적절한 조합도 해가 된다는 중첩의 원리(superposition principle)가 성립되기 때문이다. 이 중첩의 원리는 간섭, 회절, 맥놀이, 정상파 등 파동이 갖는 특이한 성질들을 다 설명해준다.  즉 앞의 그림에서의 각각의 파동함수을 U1, U2라 하면 U=U1+U2인파동함수도 파동방정식을 만족하게 되는데다가 경계조건을 충족하기 때문에 U가 바로 두 파가 합성 된 파의 파동함수가 된다. 따라서 시간이 흘러 파가 서로 분리되었을 때 합해지기 이전의 파형 U1, U2의 속성에 변함이 없는 것이다. 만일 서로 교란되고 이 교란된 것이 끝가지 영향을 미친다면 U1에 U2의 영향이 스며들어 U1이 U2의 적절한 함수 형태로 변경되어야 한다.

 

 

중첩의 원리

U1과 U2가 파동방정식을 만족하는 파동함수라면 c1U1+c2U2도 파동방정식을만족한다. 

 

 

중첩의 원리의 한계

중첩의 원리가 깨어지는 한계에서 새로운 물리가 태동되고 있다.
 

 

 

파동의 진폭이 적다면 중첩의 원리는 잘 만족되지만 진폭이 커지면 중첩의 원리에 어긋나는 일이 일어나게 된다. 한 파동의 진폭이 매우 커져서 매질의 본성이 변해 버린다면 거기를 지나가는 다른 파동의 본성을 제대로 유지 하지 못할 것이다. 이는 근본적으로 매질의 본성이 유지되는 한계가 있기 때문이다. 예를들어 스프링을 너무 잡아늘이면 탄성을 잃어버려서 진동을 제대로 할 수 없는 상황이 벌진다. 또한 그 한계에 이르지 않았더라도 그 조건에 가까와 지면 후크의 법칙이 제대로 적용되지 않아서 진동의 모양이 정현파의 조화진동을 하지 못하게 되는 것과 유사한 일이 파동에서도 일어나는 것이다. 즉 파동방정식은 적은 진동의 조건에서만 선형으로 중첩의 원리가 잘 성립하고, 진폭이 커지면 중첩의 원리가 적용되지 않는 비선형이 된다. 이러한 영역에서 새로운 물리적인 현상이 많이 생겨나기 때문에 최근에 활발히 연구되고 있지만 이해하기가 어렵다.

 

맥놀이

 

맥놀이 - 귀에 느껴지는 긴 주기의 진동

 

 

 

서로 엇 비슷한 진동수의 소리가 겹쳐서 들릴때 주기적으로 소리가 커졌다 작아졌다 하는데 이를 맥놀이라 한다.

 

 

그림에서 진동수의 차이가 다른 두파가 합성되어 귀에 들리는 상황을 보여주고 있다. 위쪽은 진동수 차이가 작고, 아래쪽은 진동수의 차이가 크다.

 

 

정상파와 공명

 

정상파

 

 

줄의 한쪽을 벽에 고정하고 다른 끝을 진동시키면 줄을 따라 진행하던 파동이 벽에 부딫혀서 반사되어 나온다. 이 반사되는 파와 계속해서 입사하는 파가 만나면 줄의 위치에 따라 진동하는 부분과 진동을 거의 하지 않는 부분이 있다.  이렇게 서로 반대 방향으로 진행하면서 같은 파장의 두 파가 합성되어 공간에 머무는 듯한 생겨나는 파동을 정상파라고 한다.

 

 

공명

 

 

 

줄의 양쪽 끝이 막혀 있는 경우에는 거듭해서 반사되는 파가 합성되어서 소멸하지 않고 살아남기 위해서는 특정한 파장을 가져야 한다. 또한 북처럼 테두리에 의하여 파동이 같혀 있는 경우에도 그 제한된 공간에 잘 뛰어 놀 수 있는 파동이 있다. 이렇게 주어진 경계조건을 만족하는 파가 만들어진 것을 공명되었다라고 한다.

 


"정상파와 공명" 단원 참조 

 

파동속

 

파동의 무리

 

 

 

중첩의 원리에 의하여 정현파가 적절하게 무수히 많이 모이면 거의 임의의 파형도 만들어 낼 수 있다. 이를 수학적으로는 Fourier 정리라하여 임의의 파형에 포함된 정현파의 성분도 쉽게 계산해 낼 수 있게한다. 파가 모인 결과가 공간적으로 국소화 되었을때를 파동속, 혹은 파속(wave packet)라 한다. 양자론에 의하면 자연의 입자들도 결국에는 물질파가 합성 된 결과로 보기 때문에 이 파동속에 대한 이해는 양자론을 이해하는데에 매우 중요하다.

다음과 같은 파동함수로 표현되는 두 파를 합성하자.

합성된 결과는

로서 이 파동은 무리지어진 파동 안에 원래의 파동과 거의 같은 파가 숨어 있다.

이 무리지어진 파동의 이동속도는

로서 이를 군속도(group velocity)라 한다.

 

 

아래그림에서 제일 위는 엇비슷한 진동수, 파장의 두 파를 합성한 것이고, 다음부터는 세 파, 네 파, 다섯 파를 합성한 것이다. 많이 합해줄수록 파동을 특정한 공간에 국한시킬 수 있다는 것을 알 수 있다.

 

 

 

두 파의 합성에 관한 모의실험(ActiveX : 180kByte)

 

두 파가 합성되어 나타나는 물리 현상을 쉽게 이해하도록 적절하게 두 파의 파장, 진폭 진행속도를 바꿀 수 있고 이 결과를 파형으로, 혹은 무늬로 관찰 할 수 있는 프로그램이 제시되어 있다.  

 

(MS Internet Explorer 4.0 이상에서 보안설정을 낮게해야 프로그램을 사용할 수 있습니다. 또한 Pentium 133Mhz 이상에서 효과적으로 프로그램이 실행됩니다.)