두파의 합성

정상파와 공명

정상파

	머물고 있는 파동
	정상파는 서로 마주보고 달려오는 조화파의 파장과 진폭이 같을 때 두파가 겹쳐지는 부분에서 마치 공간에 파동이 머무르고 있는 듯한 양상을 보이는 현상을 말한다. 아래 그림에서 마주보고 다려오는 정현파가 중앙부근에서 만날때 진동하는 부분과 진동을 하지 않는 부분이 있는 것을 알 수 있다. 여기서 두 파의 파장과 진폭은 동일하다. 두파가 만나서 정상파가 만들어지는 경우는 파가 매질의 경계로 입사하여 그 파와 동일한 진동수, 진폭의 반사파가 만들어지는 경우에도 관측할 수 있다. 줄을 벽에 매달고 한쪽 끝을 흔들어주면 벽에서 반사되는 줄의 진동과 만나서 결과적으로 머무른채 진동하는 것을 관측해보자. 두 파동이 동일한 진동수 파장을 가지고 있으면서 반대방향으로 진행하고 있을 때 이를 합성하면 아래의 수식으로 보인 바와 같이 시간에 따라 진동하는 함수부분과 공간의 함수부분 두 개의 곱으로 나타내어 진다. 즉 공간에 고정된 패턴을 하고 있음을 알 수 있다.

	줄의 모든 부분은 같은 위상ㅇ로 진동을 하는데 그 진폭은 위치에 따라 다르다. 진폭이 가장 큰 부분을 배라하고, 진동이 없어서 진폭이 0인 부분을 마디라 한다. 인접한 마디와 마디사이, 배와 배사이의 거리는 파장의 반이 된다. 위 그림처럼 정상파는 시간이 흐름에 따라 파가 진행하는 것이 아니고 그 자리에서 진동을 하는 것이어서 멈추어 선 파동이라 할 수 있다.


		실제의 줄의 전상파의 사진. 왼쪽이 묶여 있는 줄의 오른쪽을 진동시켰을 때 그 진동수가 특별한 경우 왼편의 사진 같이 가운데만이 크게 진동하는 특이한 파동이 된다. 이처럼 공간에 머무는 파동을 정상파라 한다.

공명

	갇힌 파동.
	파가 뛰 놀수 있는 공간이 닫혀져 있을때에는 그 속에 같혀 있는 파동은 특별한 조건을 만족해야 한다. 줄의 파동의 경우처럼 1차원인 경우에는 양쪽 끝이 고정되어 있고, 북의 파동처럼 2차원 평면상의 파동인 경우에는 폐곡선 형태의 가장자리가 고정되어 있어야 하고. 3차원 공간상에 존재하는 음파의 경우에는 폐곡면에 의해 닫혀져 있어야 한다. 이러한 경우 경계에서 수없이 반사되는 파동과 입사하는 파동이 만나서 정상파를 형성하는데 아무 값이나의 파장을 갖는 파동이 그 내부에 소멸되지 않고 있을 수는 없다. 이는 줄의 파동의 경우에 생각해 보면 쉽게 이해할 수 있다. 한쪽 끝에서 반사되는 파와 입사하는 파가 만나서 정상파를 만들고 다른쪽 끝에서 반사되는 파와 입사하는 파 또한 정상파를 만드는데 두가지의 정상파의 마디와 배의 위치가 동일해야 할 것이다. 그렇지 않다면 그 지점은 제멋대로 위상의 파동이 겹쳐서 소멸해 버릴 것이다. 줄의 파동의 경우도 그렇지만 보통 경계면에서는 파가 존재할 수 없는데 이곳이 마디가 되고 맞은편의 경계에 다른 마디가 있는 조건이 되어야 하므로 줄의 공명조건은 다음과 같다는 것을 알 수 있다. 공명 파장 = 줄의 길이 x 2/n (여기서 n은 자연수)
	관의 공명 아래 그림을 보자. 한쪽 끝이 열린 관의 공명. 막힌 쪽은 공기가 진동을 하지 못하여 변위로서의 파동량은 0이 된다. 그러나 열린 쪽은 진동을 잘 할 수 있다. 한편 공기의 압력은 열린쪽에서는 대기에 그대로 노출되어 있어 대기압의 고정된 값을 유지하고 있다. 따라서 압력파 입장에서는 막힌쪽이 배, 열린쪽이 마디가 된다. ( 변위파동함수를 위치에 대하여 미분한 함수의 -가 압력파동함수가 된다)

	북의 공명




	위 그림은 북의 여러 가지 공명상태를 보여준다. 주변에 스피커나 솔레노이드 등으로 진동시키면서 가해주는 진동수를 변화시키면 특정한 진동수에서 다양한 모양의 공명을 볼 수 있다. 북의 진동면에 송화가루를 놓아 진동이 거의 없는 지역에 이것이 몰려서 검은 선의 모습을 보여 주고 있다. ("고무막의 진동" 참조)

공명과 파국

	바닷가에서 주은 소라를 귓가에 대고 그 속에서 들리는 소리를 들어보면 "바다의 소리"가 들 리는 듯하다. 이 소리는 소라 주변을 가볍게 지나가는 바람이 소라 속의 고유진동에 공명이 일어나서 들리는 것인데 이 소리는 바다의 추억을 다시 생각하게 해준다. 이 경우처럼 공명이 우리에게 즐거움을 주는 일은 그 외에도 많이 있다. 에밀레종의 심오한 종소리나, 깊은 산에 있는 절의 풍경소리, 목탁소리 등은 이 공명을 이용한 기구로부터 나오는 소리이다. 이처럼 공명은 유익하기도 하지만 때때로 이 공명으로 인하여 예기치 못한 엄청난 일이 벌어지기도 한다. 아래 그림을 보자. 이 그림은 1940년 11월 미국의 워싱턴 주의 어느 다리(Tacoma Narrows Bridge)가 그 공명에의해 파괴되는 것을 보여주고 있다. 이 다리는 파괴되기 4개월전에 만들어 졌는데 처음 한달 동안 미약한 횡방향의 진동이 감지되었다. 그러나 다리가 파괴되던 그날, 바람은 시속 70km로 불었고 이 바람에 의해 다리의 중심부가 크게 진동하기 시작했다. 이 다리는 길이가 855m이고 폭이 12m인데 이 바람의 특이한 효과가 다리의 고유진동수인 36 진동/분 으로 공명을 일으키게 된 것이다. 오전 10시경에 다리의 진폭은 약 50cm 정도 되어서 파국이 올 것으로 알고 주의깊은 관측이 시작되고 아울러 영상으로 촬영이 시작되었다. 곧이어 다리가 꼬이는 진동(twist vibration)이 고유진동수 14 진동/분 으로 공명되어 진동이 급격하게 커져서 드디어 파국을 맞이하게 되었다.

	이러한 일을 경험한 후 건축가는 그 구조물의 고유진동수와 진동의 모우드를 면밀히 계산하여 주변에서 이를 공명시킬 수 없는 조건의 설계를 하는 것이 필수적이 되었다.