고무막의 진동

이론

줄의 진동, 막의 진동 혹은 특정한 기하학적 구조내에서의 공기의 진동 등 갇혀 있는 파동의 공명상태는 그 경계조건을 부과한 파동방정식의 해를 구하여 알아 낼 수 있다. 이 파동방정식을 만족하는 진동을 일반적으로 정상파라 하고 그 진동수를 고유진동수라고 한다.

줄의 경우에는 단순한 정현파 혹은 이들의 합성파로서 표시할 수 있으나 막의 진동의 경우 경계조건에 따라 진동형태를 예측하기 어려울 정도로 복잡해 진다. 임의의 경계조건일 경우에는 방정식을 완전히 풀 수 없어 수치해석 방법으로 근사적인 해를 구할 수 밖에 없으나, 직사각형, 원형, 타원형 등 기하학적인 구조가 비교적 간단한 경우에는 이들 경계조건에 상응하는 특수함수로서 풀 수 있다.

막의 파동이든 음파이든 드브로이(de Broglie) 물질파이든 간에 그 정상파를 구하고 고유진동수 혹은 고유에너지를 알아낼 수 있는 이러한 미분방정식을 보통 헬름홀츠(Helmholtz) 미분방정식이라 하고, 2차원 원형인 경우에는 극좌표로 변수분리하여 베셀(Bessel) 함수형태로, 또 타원인 경우 타원좌표로 변수분리하여 Mathieu 함수로 풀 수 있고, 특히 베셀 함수는 그 수학적 구조가 잘 알려져 있다.

< 2차원 막의 진동 >

줄의 진동이나 막의 진동의 경우 평형위치에서의 변위 또는 음파의 경우 공기의 압력 분포 등, 파동에 있어서 공간으로 전파되어 나가는 물리량을 라 하자. 그 매질에서 파동의 전파속도가 v로 일정하게 주어진다면 어떠한 파동이든 시간, 공간적으로 파동함수 가 변화하는 상황은 다음과 같은 방정식을 만족한다.

<식1>

이러한 형태의 미분방정식을 특히 파동방정식이라 한다.

정상파의 경우에는 파동의 진동 형태가 공간적으로 전파되지 않고 제자리에 있으므로 시간을 분리하여 파동함수를 로 둘 수 있다. 여기서 제자리에서 진동하는 진동수는 이다. 정상파의 경우에는

<식2>

로 된다. 이 미분방정식을 만족하는 해를 구한다함은 물론 를 구하는 것이지만 이것뿐만 아니라 그 해가 존재할 수 있는 진동수 도 구해진다. 이 파동함수를 고유함수, 진동수를 고유진동수라 한다. 즉 어떠한 경계조건하에서 뛰놀 수 있는 파동은 특정한 진동모양이어야 하고 또한 진동수도 특정한 값이어야 하는 것이다. 북이나 피리, 현악기 등 모든 악기는 이러한 고유진동음을 우리에게 들려 주는 것이다.

< 정사각형 막의 진동형태 >

북과 같은 2차원 형태의 진동인 경우 는 x, y 혹은 r, θ등 적절한 좌표의 함수가 된다. 한 변의 길이가 L인 정사각형 틀의 고무막 진동일 경우 (2)식은 x, y 좌표계를 사용하여 간단하게 풀 수 있으며 그 결과는 다음과 같다.

<식3>

<식4>

여기서 ,는 임의의 자연수이다. ,의 값에 따라서 진동하는 형태가 달라지고 또한 진동수도 (4)식처럼 주어진다. 편의상 진동모양은 형태로 써서 나타낸다. 즉 11 진동은 가장 기본적인 진동으로서 진동수는 4.44v/L이다. 여기서 파의 진행속도 v는 막의 장력과 막의 면밀도에 따라 계산되지만 이 진동수를 1로 두면 다른 모우드의 진동수는 전적으로 ,에만 의존한다. 또한 (4)식에서 볼 수 있는 바와 같이 와 가 바뀐 경우 예를 들어 =1, =2와 =2, =1 경우에는 서로 다른 상태이지만 고유진동수가 같기 때문에 그 파동함수의 적절한 합성파도 고유진동이 될 수 있어 이를 축퇴되어 있다고 한다.

그림 1. 정사각형의 고유진동 모우드. 그림에서 푸른색으로 표시된 부분이 위로 올라갈 때 붉은 부분은 아래로 내려간다. 다음 순간에는 그 입장이 바뀐다. 면들의 경계에서는 진동이 없어 마디를 이루는데 이 마디는 줄의 진동에서는 점이지만 여기서는 선이 된다.그림에서 진하게 표시된 부분이 위로 올라갈 때 흰 부분은 아래로 내려간다. 다음 순간에는 그 입장이 바뀐다. 면들의 경계에서는 진동이 없어 마디를 이루는데 이 마디는 줄의 진동에서는 점이지만 여기서는 선이 된다.

왼편은 정사각형막의 다양한 고유진동의 형태를 움직이는 그림으로 보여주고 있다. 막의 부분에 마우스를 클릭하면 다른 모우드의 모양으로 바뀐다. 그림에서 고유진동수는 기본진동을 1로 했을 때이다. 이 그림은 <식3>을 적용시켰기 때문에 실제 상황을 그대로 흉내내고 있다. (직사각형막도 마찬가지의 모우드를 가지고 있으나, 다른 모우드가 같은 진동수를 가지고 있는 축퇴가 없다)

표1. 그림 1의 고유진동 모우드의 이론적인 진동수 비. 11 모우드에 대한 비로 표시하였다.

모우드	축퇴	상대진동수
11	1	1
12, 21	2	1.581
22	1	2
13, 31	2	2.236
23, 32	2	2.550
14, 41	2	3

< 원형막의 진동형태 >

반경 a인 원형진동막인 경우 진동막의 중심이 원점이 되도록 극좌표를 설정하여 이때의 변수 r, θ로 를 기술하면 다음과 같다.

<식5>

은 베셀(Bessel) 함수이고 아래첨자 m은 0,1,2,3등 이다. θ변수가 2π 만큼 증가해도 같은 지점을 나타내어 m의 값은 0을 포함한 자연수이다. 에 의존하는 함수는 cos(mθ) 이어서 m=0 이면 θ에 무관하여 원점에 대하여 대칭인 파동의 모양을 할 것이고 m=1이면 θ가 90˚와 270˚에서 진동이 없는 마디를 이룰 것이다. 즉 원점을 지나는 임의의 한 축을 경계로 하여 양쪽의 진동이 서로 반대로 행동한다. 또한 가장자리에서는 파가 진동을 하지 못하므로 (a, θ)=0 의 경계조건이 적용되어 이를 만족하는 의 특정한 값을 알아낼 수 있다. m=0 인 경우 _a/v의 값이 2.4080, 5.5201, 8.6537, 11.7915등이고, m=1 인 경우에는 각각 3.8317, 7.0156, 10.1735등이 해가 된다. 임의의 m에 대하여 n번째 해에 해당하는 진동수 를 _mn이라 하고 이 경우의 파형을 mn모우드라 하자. ₀₁=1로 놓으면 ₀₂ =2.296, ₀₃=3.60, ₁₁=1.593등의 비율이 되고 이 비율은 진동막의 장력, 반경 등에 무관하게 일정하다. 타원형 진동막인 경우에는 타원좌표로 변수분리하여 구할 수 있으나 일반적으로 학부 수준을 넘어서는 내용이 되고 일반적인 해의 형태에 대하여도 잘 알려져 있지 않다.

그림 2. 원형 고무막이나 북 등의 유진동 모우드. 그림에서 푸른색으로 표시된 부분이 위로 올라갈 때 붉은 부분은 아래로 내려간다. 다음 순간에는 그 입장이 바뀐다. 면들의 경계에서는 진동이 없어 마디를 이루는데 이 마디는 줄의 진동에서는 점이지만 여기서는 선이 된다.

왼편은 원형막의 다양한 고유진동의 형태를 움직이는 그림으로 보여주고 있다. 막의 부분에 마우스를 클릭하면 다른 모우드의 모양으로 바뀐다. 그림에서 고유진동수는 기본진동을 1로 했을 때이다. 이 그림은 <식5>를 그대로 적용시켰기 때문에 실제 상황을 정확하게 흉내내고 있다. (그림을 효과적으로 보여주기 위하여 막을 돌려가면서 관찰할 수 있게 한다)

실험방법

(1) 틀에 고무막을 장치하고 테를 받치고 있는 나사를 잘 조절하여 막에 장력이 균일하게 미치도록 한다. 장고나 북 등으로 할 때에도 가장자리에 매어져 있는 끈을 균일하게 조여지도록 한다.

(2) 그림 3 처럼 실험장치를 구성한다.

(3) 신호발생기와 앰프의 볼륨을 줄여놓고 전원을 올린다.

(4) 신호의 주파수를 20Hz정도로 하고 신호발생기와 앰프의 볼륨을 서서히 올려서 고무막이 떠는 모양을 주시한다.

(5) 고무막이 따라서 진동을 하면 신호발생기의 주파수를 서서히 200Hz 정도까지 올리면서 막의 진동형태를 관측한다. (이때 막의 장력, 크기등에 따라 측정가능 주파수는 달라질 수 있다)

(6) 가장 낮은 주파수 쪽에서 공명이 일어나는 상황을 만든다. (공명상태가 되면 막은 급격하게 진동을 한다.)

(7) 주위를 어둡게 하고 스트로보를 켜서 섬광이 일어나는 주기를 조절하여 막의 진동주파수에 동기 시킨다. 동기주파수 부근에서는 고무막이 진동하는 형태가 느린 동작으로 잘 관측된다.

(8) 이때의 주파수를 측정하여 기록하고 스트로보로 관측한 진동형태를 스케치 한다. (진동을 거의 하지 않는 부분, 즉 모우드가 선을 이루게 되는데 이를 스케치하고, 이 모우드 선으로 감싸여진 면을 잘 관측하여 어느 순간에 올라가는 면과 내려가는 면을 +, -로 표시한다.)

(9) (6)에서의 주파수로부터 조금씩 주파수를 증가시켜 가면서 다른 공명상태를 찾는다. 그리고 (7),(8),(9)의 과정을 되풀이 한다.

(10) 이렇게 하여 최대한 많은 공명상태를 찾는다. 이때 주파수가 상당히 높아지고 진동 모우드가 복잡해지면 공명상태가 쉽게 분간되지 않는다. 또한 경우에 따라서는 스피커의 위치를 고무막의 정 중앙으로부터 이동하여 +부분이나 -의 한 부분에 놓는 것이 효과적일 수 있다.

(11) 이 결과를 이론적인 기대치와 비교한다. 절대적인 공명 주파수는 장력이나 면밀도를 알아야 하나, 여기서는 공명 모우드 별 공명 주파수의 비를 이론치와 비교한다.

(12) 형태가 다른 고무막에 대하여 같은 실험을 반복한다.

< 원형진동막 실험 결과의 예 >

모우드	관측된 고유진동수	01모우드에 대한 비	이론적 진동수 비
01	59.9Hz	1	1
11	95.3Hz	1.591	1.593
21	125.3Hz	2.092	2.136
02	138.4Hz	2.311	2.296
31	160.1Hz	2.673	2.653
12	178.9Hz	2.987	2.917
41	190.8Hz	3.185	3.156
22	210.4Hz	3.513	3.500
03	216.1Hz	3.608	3.600

고무막의 진동

실험목적

이론

실험장치

실험방법

질문

참고도서

실험목적
	원형, 정사각형 등 간단한 경계조건을 갖는 고무막의 정상파동을 측정하여 2차원 파동방정식과 그의 해가 갖는 특성을 파악한다.