파동의 표현 

 

 

파동의 수학적 표현 - 파동함수 및 파동방정식

 

파동의 모든 것은 파동함수로 기술된다. 

 

 

 

호수의 물결을 잘 관찰 해보면 호수면의 수면의 높이가 각 지점에따라 달리 되어 있으면서 그 형태가 계속 움직이는 것을 볼 수 있을 것이다. 수면의 높이(파동량)를 호수내의 각 지점의 위치, 즉 공간과 시간의 함수로 표현한다면 그 수면파(물결)에 대한 총체적인 표현이 될 것이다. 이처럼 파동의 모든 정보는 파동량의 공간, 시간의 함수로서 완벽하게 기술되어 이를 파동함수라고 한다.

이 파동함수의 차원은 그것이 표현하는 파동량의 물리적인 차원이 되어 수면파나 줄의 파동 경우 파동함수는 거리의 차원을 가지고, 소리의 경우는 음압파동으로 보면 압력, 소밀파동로 보면 밀도, 변위파동으로 보면 거리의 차원을 갖는다.

파동도 물리적인 현상이므로 운동법칙이나 전자기법칙 등 기본적인 물리법칙을 만족해야 하여 파동함수도 특별한 방정식을 만족하게 되는데 이를 파동방정식이라 한다. 즉 파동의 파동함수는 파동방정식을 만족해야 하면 또한 이 파동방정식의 어떠한 수학적인 해도 물리적으로 가능한 파동이다.
 

 

bullet_rc1.gif (263 bytes) 여러 가지 파동을 열거하여 각각의 파동량(파동함수)은 어떤 물리량, 차원을 가지고 있는지를 알아보자.

bullet_rc1.gif (263 bytes) 수학의 함수로 표현하기 곤란한 파동은 어떤 경우일까? 수면파(바다의 파도)를 예로 설명해 보자.

 

조화파 (harmonic wave)

 

조화파는 잘 빚어진 파동이다.

 

 

 

파동은 여러가지 다양한 형태, 보다 정확하게 말하면 거의 임의의 모양을 할 수 있다. 예를 들어 줄의 한쪽을 손으로 진동시켜서 파동을 발생 시키는 경우를 생각해보자. 이때 손으로 흔드는 폭을 시간에 따라서 거의 임의로 할 수 있고, 이 경우 줄을 따라 전파되어 가는 파동이 공간에 펼쳐진 모습도 임의의 함수 모양이 된다.  이러한 임의의 파가 있을 수 있지만 우선 잘 빚어진 파동에 대하여 고려하도록 한다.  

이렇게 잘 빚어진 파동을 주로 취급하는데에는 몇가지 이유가 있다. 우리가 일상 생활에서 접하는 파동은 그 파동의 크기가 그렇게 크지 않을 때에는 sin함수 형태의 매끈한 모습일 때가 많다. 파가 매질에서 이동하면서 분산(dispersion)에 의하여 여러 가지의 sin파로 분리되어 버리기 때문도 하나의 이유가 된다. 또한 파가 발생되는 처음의 요동이 조화진동(harmonic oscillation)인 것도 다른 이유가 된다. 앞에서 손으로 줄의 끝을 잡고 진동시키는 경우 손의 운동을 아주 유연하게 한다면 이로부터 발생되는 공간에 펼처진 파동의 모습도 유연한 모습이 되는 것이다. 이렇게 sin함수 형태의 유연한 파동을 조화파라 한다. 한편 여러 다양한 진동수의 조화파도 적당히 합성하면 임의의 모양의 파동을 만들어 줄 수 있다. 이에 따라 파동에 대한 전반적인 이해는 이러한 매끈한 모습의 조화파에 대한 이해로부터 출발한다.
 

 

조화파는 아래 그림처럼 sin함수로 표현할 수 있는 파를 말한다. 임의의 파동은 이러한 조화파의 합성된 형태로 나타낼 수 있다. 그림과 수식에는 파를 구성하는 몇가지 요소가 서로 관계되어 표현 되어 있다.

조화파의 구성요소 : 파장, 주기(진동수), 진폭

 

 

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아래 프로그램을 운용해 보자. 오른쪽 하단의 run 버튼을 누르면 위치 그래프상의 파동이 움직이기 시작한다. 아울러 원점에서의 파동량이 시간에 따라 변화되는 모습이 하단의 그래프에 순차적으로 표현된다. 이를 잘 관찰하여 파장, 주기의 의미를 생각해보자. 프로그램의 실행을 정지시키려면 pause 버튼을 누른다. 90초의 시간이 지나거나 reset 버튼을 누르면 새로운 파장, 주기의 파동이 임의의 값으로 생성된다. 시간 sec과 거리 m는 실제의 축적과 차이가 있다. 아래 그래프의 축적에서 파동의 진행속도, 진동수를 구해보자. <끝낸후 pause 버튼을 눌러 프로그램을 끝내도록 한다>

 

 

 

 


파동의 발생 - 줄의 파동의 경우

 

파동이 만족하는 파동방정식을 만들어 보자.

 

 

 

줄의 양 끝이 장력 F에 의해 당겨지고 있을 때 팽팽하게 긴장된 상태를 유지하여 일직선을 이루고 있을 것이다. 이때 줄의 어떤 부분을 당겼다가 놓으면 변형된 모습은 양방향으로 퍼져 나갈 것이다. 줄의 운동양상은 전적으로 운동법칙에 의해 지배되고 따라서 줄의 부분이 받는 모든 힘을 분석해 봄으로서 파동이라는 특이한 운동의 형태를 이해할 수 있다.

아래 그림에서 볼 수 있는 것 처럼 인접한 부분의 변위가 자기 자신에게 영향을 미치고, 또한 자기자신의 변위가 인접한 부분으로 영향을 주기 때문에 이것이 교대로 일어나서 그 변위의 정도가 공간상으로 퍼져나가게 된다. 줄의 각 부분이 서로 연결 되지 않았다면 파동은 생겨날 수 없을 것이다.

 

 

 

아래 그림은 줄의 일부분에서의 힘의 분포를 보여주고 있다. 수평방향이 x축 방향이고, 힘 F는 장력으로서 줄 전체에 걸쳐 거의 일정하다. 그리고 줄의 부분이 기울어져 있는 정도는 과장되게 그려져 있어 실제로 기울어진 각 q는 거의 0에 가깝다.

 

 

 

U : 줄의 세로방향으로의 변위. 줄의 위치 x와 시간 t에 따라 달라진다. U (x,t)의 함수 형태로 표현된다.
x : 줄의 위치
t : 시간
F : 줄의 양 끝이 당겨주는 힘(장력). 이 힘은 줄을 따라 모든 지점에 거의 같은 크기로 전달된다.
m : 줄의 선밀도

줄의 변위가 적어서 기울어진 각도 t가 0에 가까울때

eq1.gif (811 bytes)

로 놓을 수 있다.

위 그림에서 줄의 일부분 Dx가 받는 힘은 아래와 같다.

eq2.gif (1200 bytes)

이 힘에 의한 운동방정식은,

eq3.gif (535 bytes)

이를 정리하면 1차원에서의 파동방정식을 얻을 수 있다.

eq4.gif (517 bytes) 여기서 eq5.gif (218 bytes)

한편 이 식을 3차원으로 자연스럽게 확장하면 다음의 3차원 파동방정식을 얻을 수 있다.

위 1차원의 파동방정식은 2계미분 방정식이어서 초기의 위치 함수, 속도함수가 있으면 결정할 수 있다. 한편 이 방정식은 다음과 같은 (x - vt) 나 (x + vt) 의 임의의 함수형태의 해를 갖는다.

eq7.gif (256 bytes)

이중 단조화 진동에 의하여 발생되는 파동이라면 sin함수로 표시되어 이를 조화파라고 한다.

eq8.gif (416 bytes)

여기서 l은 파장이다. 일차원 조화파에 대한 표현을 아래와 같이 파수 k, 각진동수 w로 표현하여 다음과 같이 쓰기도 한다.

eq9.gif (466 bytes)

아래 그림은 줄의 파동이 전파되는 모습을 보이고 있다. 줄의 변위 형태는 그 모양을 유지하면서 오른쪽으로 이동하고 있다. 한 순간의 파의 모습은 sin함수형이어서 그 거듭되는 주기는 파장이 되고, 파의 크기는 진폭이라 한다. 한편 공간의 한 지점을 주시하면 그 부분의 줄은 스프링에 매달려 있는 추처럼 진동을 하고 있는 것을 알 수 있다. 이처럼 파의 진행방향과 매질이나 매질의 물리량의 진동방향이 수직한 경우의 파동을 횡파라 한다.

 

 

파동의 여러 양상 <추가주제>

2차원 파동, 3차원 파동을 움직이는 그래프와 함께 다룬다.