광학기구 2 - 현미경과 망원경

 

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현미경
 

 

현미경은 두 번 확대하는 확대경이다.

현미경은 물체 가까이 있는 대물렌즈를 통하여 일차로 확대된 실상을 만들고, 이를 일종의 확대경인 대안렌즈를 통하여 더 확대하여 보게 한다. 이에 따라 확대경이 실현할 수 없는 수천 배까지의 배율이 가능해져서 인간의 지각을 극미세계까지 넓히게 되었다. 16세기 말과 17세기초에 걸쳐서 발명되고 개량된 현미경은 생명체의 기본조직인 세포를 발견하게 하였고, 생물학 등 자연과학발달에 크게 기여할 수 있었다.

아래 그림에서 초기에 개발되었던 간단한 형태의 현미경을 보여주고 있다. 대물렌즈의 초점거리 f1보다 조금 뒤에 있는 화살모양의 물체()의 상은 이 렌즈의 상초점을 L만큼 지난 고정된 위치에 실상을 맺는다. 이 과정에서의 순수한 배율은 L/f1이다. 한편 이 실상을 대안렌즈를 통하여 더 확대하게 되는데, 이때는 이미 확대경에서 설명한 대로 배율로서 각배율(M=250/f)을 고려해야 할 것이다("확대경" 참조).

한편 그림에서 L로 나타낸 부분은 현미경에서 몸통을 형성하게 되고 160mm를 표준값으로 삼고 있다.

 

 

 

 

 

 

현미경의 원리를 알아보는 모의실험

 

 

 

왼쪽 앞에 화살모양의 아주 작은 물체가 놓여 있다. 처음에 주어진 물체의 길이는 10mm로 화살의 중심이 광축을 가로지르도록 되어 있고 화살의 크기나 위치를 조절할 수 있다. 화살의 위치를 조절하는 것은 마치 실제의 현미경에서 시료대(stage)를 오르내리는 것과 같다. 한편 시료 앞 쪽의 렌즈는 대물렌즈로서 역시 렌즈의 초점거리와 위치를 조절할 수 있다. 화면의 오른편에 있는 렌즈는 대안렌즈(접안렌즈)로서 대물렌즈의 초점거리보다 짧은 초점거리를 가지고 있고 이 또한 초점거리와 위치를 조절가능하다. 실제의 현미경에서 역시 대물렌즈의 위치를 조동나사와 미동나사를 통하여 조절할 수 있는 것과 비슷하다. 그림에서 160mm로 표시한 것은 대물렌즈와 대안렌즈의 두 초점사이의 거리로서 이를 보통 경통길이(광학적 통 길이)라 하여 보편적인 복합현미경의 표준값이다.

현미경의 배율은 대물렌즈와 대안렌즈의 초점거리에 각각 반비례하여 두 렌즈가 기여하는 배율을 곱한 값으로 결정된다. 대물렌즈의 배율은 m1 = 160/f1 이고 대안렌즈의 배율은 m2 = 250/f2 이다(모두 mm값으로). 이 배율을 두 렌즈의 초점거리를 조절하여 변경시킬 수 있도록 프로그램되어 있지만 아래의 선택창을 통하여 2X, 3X, 등의 배율을 선택할 수 있고, 이 경우에는 렌즈의 위치가 자동적으로 관측 환경에 맞추어지도록 되어 있다.

이 프로그램과 실제의 현미경과의 원리상 차이는 없으나 화면에 효과적으로 나타내기 위하여 관측하는 물체의 크기를 10mm정도로 크게 미리 주어 이에 따라 대물, 대안렌즈를 크게 할 수밖에 없었다. 물체의 크기를 아주 작게 하고 대안렌즈와 대물렌즈의 배율은 큰 값, 즉 초점거리를 작게 조절하면 100배, 1000배 등의 고배율도 시험해 볼 수 있게 된다. 이렇게 미소한 값으로 조절하기 위해서는 편집하고자 하는 물체를 화면 가득하도록 창을 확대하고 물체를 편집모드로 하여 편집하면 된다. <운용방법>

 


 

 

<실험예>

1. 초기에 설정된 화면으로 한다(이때는 대물렌즈 배율 4X, 대안렌즈 배율 5X으로 총 20배의 배율로 조절되어 있을 것임). 10mm인 물체를 명시거리인 250mm에 갖다 놓았을 경우 우리 눈에서 화살의 앞뒤가 이루는 각(시각차)을 계산해 보자. 화면 아래 왼편의 옵션에서 "화살뒤쪽 광선보기"와 "역추적선보기"를 선택하고, 화살물체의 허상이 무한한 먼 지점에 맺히는 것을 관측하자. 그리고 화살의 양단이 이루는 각을 측정해 보자. (측정방법은 한 광선을 택하여 마우스로 두 지점의 좌표값을 읽어 각을 측정한다)

결과 : (1) 10mm의 물체를 명시거리에 놓았을 때 시각차 : 10/250 = 0.04 (radian)

(2) 화살 뒤에서 나오는 한 광선의 두 점을 마우스로서 관측한 좌표는(보다 정밀한 측정을 위하여 화면의 일부분을 확대하였고, 두 점을 멀리 선택), P1 = (211.3, -20.1), P2 = (380.4, 47.5)임. 이로부터 광축과 이루는 각을 구해보면 (47.5-(-20.1)/(380.4-211.3) = 0.3995

(3) 화살의 앞쪽의 경우에 대하여 같은 계산을 해보면 대칭이므로 같은 값이 나올 것이다. 따라서 확대된 시각차는 0.3995 x 2 = 0.7991 ~ 0.8 로서 원래의 화살의 시각차가 20배 증폭되어서 나타남. 


케플러식 굴절망원경
 

 

망원경은 멀리 있는 물체를 크게 볼 수 있게 한다

망원경은 현미경과 달리 멀리 있어 다가가서 크게 볼 수 없는 물체를 크게 보게 하는 광학기구이다. 현미경의 경우에는 물체를 눈 가까이 가져올 수 있는 상황에 있으므로 이렇게 하여 보는 물체의 크기에 비하여 확대된 물체의 크기를 비교하여 배율을 말하게 되나 망원경의 경우에는 그 위치에 있는 그대로의 상대적인 크기에 비하여 상의 상대적 크기를 비교한 배율이 의미가 있게 된다. 이에 따라 현미경의 결상과는 매우 다른 원리에 의하게 되고, 이에 따라 배율도 다른 형식으로 표현된다.

아래 그림에서 보는 것처럼 대물렌즈는 매우 멀리 있는(초점거리에 비하여) 물체의 상을 거의 상초점에 맺는다. 물론 이때의 실상은 물체에 비하여 매우 작아서 거의 크기를 가지지 않을 것이다. 이 실상이 바로 대안렌즈의 물체초점에 놓이게 대안렌즈의 위치를 잘 조절하면 다시 이의 허상이 아주 먼 (무한대) 곳에 맺힌다.

 

 

 

 

그림에서는 물체를 비교적 가까운 곳으로 설정하여 작도하였기에 이의 실상이 대안렌즈의 상초점 뒤쪽에 있지만 실제로는 이 상의 위치가 바로 초점위치가 되고 아울러 이점이 대안렌즈의 물체초점에 오도록 하므로 두 초점을 거의 일치시켜야 함을 알 수 있다.

따라서 케플러식 망원경은 평행광선이 들어왔을 때 역시 평행광선으로 내 보낸다. 이는 빔 확대기(여기서는 빔 축소기)와 원리가 비슷하다. 빔 확대기는 광축방향으로 오는 평행광선을 확대하여 역시 평행광선으로 내보내게 하나, 망원경의 경우에는 앞에서 들어오는 광선이 광축과 약간의 각을 이루고 있을 때 이 각이 증폭되어 나타나는 것을 이용한다. 따라서 이 각의 비율이 멀리 있는 물체의 시차를 증폭하는 비율이 되어 이것을 망원경의 배율이라 한다.

 

 

 

그림에서 먼 곳에 있는 물체가 이루는 각은 a로 되어 있고, 최종상이 이루는 각은 b이다. 이때 망원경의 (각)배율은 M = b/a 이 되고, 이 비는 두 렌즈의 초점거리의 비와 거의 같다. 즉,

M = f1/f2
 

 

 

 

 

케플러식 굴절망원경의 원리를 알아보는 모의실험

이 프로그램에서 초기에 주어진 상태에서나 선택창을 통하여 두 렌즈의 초점거리를 선택하였을 때에는 두 렌즈의 초점이 일치되고, 이 일치되는 위치의 좌표를 (0, 0)으로 되게 하였다. 또한 이렇게 미리 설정된 상황에서는 대안렌즈의 구경을 광선을 유효하게 받아들일 수 있는 최적의 크기로 조절되고 역시 망원경의 전체 경통의 길이도 조절된다.

이렇게 미리 설정된 상황을 불렀을 때에는 물체가 무한히 멀리 떨어져 있다고 생각했을 때의 가장 적합한 상황이 되어 실제로 물체가 망원경으로부터 200m 까지 보낼 수 있으므로 대안렌즈를 미세조정 슬라이드바 로나 직접 렌즈를 클릭하여 조정해야 한다. 프로그램 중의 좌표 값은 cm단위로 표시한다.

두 렌즈의 위치와 초점거리, 물체의 위치를 변경해 가면 다양하게 실험해 보자. <운용방법>

 

 

<실험예>

1. 초기에 설정된 화면으로 한다. 이때 물체는 -100m, 즉 두 초점이 일치하는 지점에서 왼쪽으로 100m 거리에 있고, 화살의 길이는 100cm이다. 또, 대물렌즈 초점거리 100cm, 대안렌즈 초점거리는 20cm로 되어있고, 따라서 배율은 100/20 = 5 이다. 이 경우 두 렌즈의 직경(구경)의 비 또한 5로 주어지게 된다.

2. 대물렌즈의 경우 렌즈의 구경을 변경할 수 있다. 이를 여러 가지로 변화시켜 보아서 두 렌즈의 구경비가 바로 배율이 되도록 설계하는 것이 가장 적합한 이유를 생각해 보자. (물체를 가급적 멀리 보내서 검증해야 한다. 망원경의 경우 보편적으로 이 프로그램에서 설정할 수 있는 200m보다 더 먼 거리에 물체가 있다고 생각할 수 있을 것이다)

3. 를 체크하여 화살의 앞과 끝의 실상, 허상이 맺히는 장소를 관측해 보자. 이때 화면을 축소하거나 부분적으로 확대할 필요가 있을 것이다. 두 렌즈 중간에 맺히는 실상은 그 부분을 크게 확대해서 알 수 있다. 또한 그 위치는 마우스로 좌표를 읽어 측정한다. 이때   를 체크하면 상의 위치가 나타난다.  초기 설정에서 화살의 y 위치는 원점에서 -100m 에 있고 허상의 위치는 화살의 앞 광선이 (-352.0, 10.0), (-351.9, -9.9)에 맺혀지는 것을 관측할 수 있어 화살의 허상 길이가 20cm로 1m 보다 작아지는 것을 알 수 있을 것이다. 배율이 5인데 길이가 1/5로 줄어 나타나는 이유는 무엇일까? 실제 시각차의 배율을 이 경우에 대하여 구해 보자. 이 시각차의 배율이 5배가 조금 넘게 나올 것인데 이 이유는 무엇일까?

4. 최초의 설정에서 허상을 관측하기 좋도록 화면을 맞추고, 를 조절해 보자. 이 경우 상의 위치가 매우 민감하게 변하는 것을 알 수 있을 것이다. 이것이 우리가 망원경을 볼 때 대안렌즈를 돌려서 상을 가장 편안하게 조절하는 것과 같다.

5. 앞의 4의 상황에서 이제는 를 조절해서 화살을 더 멀리 보내보자. 이제 상의 위치와 배율이 어떻게 달라지는지 측정해 보자.

6. 대물렌즈의 초점거리와 대안렌즈 초점거리를 실제 렌즈를 편집하지 않는, 선택창에서 선택으로 설정하여 앞에서와 비슷한 관측을 수행해 보도록 하자.

 

 

 

뉴튼식 반사망원경
 

 

반사망원경은 시야와 배율이 높아 천체관측에 주로 활용된다

망원경의 대물렌즈 역할을 오목거울로 대치한 망원경을 반사망원경이라 한다. 이에 비하여 대물렌즈를 그대로 쓰는 것을 굴절망원경이라 하고, 렌즈와 거울을 결합하여 성능을 보다 개선 시킨 것을 반사굴절망원경이라 한다. 배율이 높고 밝은 상의 굴절망원경을 만들기 위해서는 대물렌즈의 직경이 커져야 하나 큰 렌즈를 만드는데는 여러 가지 어려움이 따른다.

1668년 뉴튼(Newton)은 몇 년전 그레고리(Gregory)에 의해 발명된 반사망원경을 보다 개량하여 아래 그림과 같은 망원경을 만들 수 있었다. 이 반사망원경은 천체를 관측하는데 크게 기여하여 몇년후  뉴튼은 이 공적으로 영국의 왕립학회회원이 될 수 있었다.

 

 

오른편 그림은 뉴튼식 반사망원경의 구조를 설명하는 그림이다. 그림에서 멀리 있는 물체의 상을 오목거울이 일차적으로 그것의 초점면 부근에 맺게 한다. 이 거울의 초점면, 즉 상이 맺는 면은 45도로 기울어진 반사경에 의해 수직으로 반사되어 아래 방향, 대안렌즈 바로 앞에 놓여 있게 된다.

 

 

 허블 천체망원경이 지구 주변의 궤도를 돌고 있다. 반사경의 직경은 2.4m로서 1990년 발사되었다.

 

 

뉴튼식 반사망원경의 원리를 알아보는 모의실험

이 프로그램도 역시 앞에서의 다른 망원경에 대한 모의실험과 작동이 비슷하다. 단 45도 기울여진 평면거울의 위치와 방향을 고정시키고 이의 중심의 좌표가 (0, 0) 이 되도록 좌표계를 설정하였다. 그러나 거울의 직경은 변화시킬 수 있도록 하여 거울이 광선을 가장 적게 가리는 최적의 크기를 추정해 볼 수 있도록 하였다. 초기설정이나 선택창을 통해 렌즈를 바꾸면 오목거울과 대안렌즈의 초점거리가 일치한, 즉 무한대의 물체의 상을 역시 무한대에 맺게 하는 것으로 일치시키게 되므로 가까운 거리에 있는 물체를 관찰할 때에는 대안렌즈의 위치를 미세조정해야 한다. 설정을 다양하게 변화시키면서 아래의 프로그램을 조작해 보자.  별도 표시가 없는 수치는 모두 cm 단위이다. <운용방법>

 

 

 

 

<실험 예>

1. 초기에 설정된 화면으로 한다(이때는 오목거울의 초점거리는 200cm, 대안렌즈의 초점거리는 25cm로서 이론상의 배율은 8이다. 물체, 즉 화살의 위치는 -100m로서 평면거울로부터 왼쪽으로 100m 떨어진 곳에 있다).

2. 상을 추적해서 그 위치를 알아보자. 를 선택하면 평면거울에 의한 허상의 효과가 다 표시되어 조금은 산만해진다. 화면을 축소하여 우선 시야를 넓히고 대안렌즈 반대 방향에 만들어 지는 화살 양 끝의 허상을 찾아서 그 부분을 확대하여 위치좌표를 측정한다. 이를 통하여 물체(화살)의 길이에 비하여 상의 양 끝의 간격을 비교하고 상의 배율을 우선 알아보자.

3. 물체를 관측하는 사람 입장에서는 시각차의 배율(일반적으로 망원경의 배율이라 하는)이 실제 의미있는 배율이 된다. 이를 구해보자.

<결과>

1. 허상이나 실상이 여러군데 나타난다. 이중 바로 평면거울 앞쪽에 형성된 상은 오목거울에 의한 실상이 평면거울에 반사되지 않았다면 생길 실상으로서 거울 입장에서는 허물체가 된다. 실제 최종상의 위치는 화면을 더 축소하여 보면 위쪽에 나타날 것이다. 즉 대안렌즈를 통하여 보는 관찰자의 눈앞 쪽에 상이 보이는 것이어서 실제의 물체 방향과 수직방향에서 물체가 크게 관측된다.

2. 이 상의 위치는 (-6.2, -80.8), (6.2, -80.8)로서 상의 길이는 12.4cm로 물체에 비하여 1/8 배 줄어들어 있다.

3. 그러나 물체의 위치는 100m 에 있는 반면 상은 관측자(대안렌즈)로부터 |(-80.8 - 50)| = 130.8cm 거리에 있어서 거리가 1/55.3 정도 가까운 곳에 있는 것이다.

4. 따라서 물체의 실제 배율은 1/8 x 55.3 = 6.91배가 된다.

5. 이 경우 이론상 배율 8배가 나오지 않게 된 것은 대안렌즈가 조정되지 않았기 때문이다. 즉 상이 눈앞 130.8cm에 있어 눈이 긴장된 상태로 관측되어야 해서 상을 무한히 멀리 보내야 할 것이다.

6. 대안렌즈를 미세조정하여 그이 y 위치가 53cm가 되도록 하자. 이렇게 하면 상의 위치는 멀어져서 (-26.4,-581.7), (26.4,-581.7)에 맺힐 것이다. (컴퓨터에 따라 약간 다른 값을 나타낼 수 있을 것인데 렌즈의 위치를 소수점 이하 1자리만 표현해서 미세조정 값이 정확하게 표현되지 않을 수 있다) 이 경우에 대하여 상의 배율과 거리비를 각각 계산해 보면, 0.528, 0.06347로서 겉보기 확대율, 즉 배율은 8.32배가 된다.

- 비슷한 계산을 물체를 달리 두거나 렌즈의 초점거리를 달리 해서 실제의배율이 어떤 경향을 가지고 있는지 생각해 보자.

 

쌍안경

 

 

프리즘을 이용하여 길이가 짧고, 바로선 상을 볼 수 있다

쌍안경은 케플러식 굴절망원경과 그 작동원리는 같으나 경통의 길이를 짧게 하고, 상을 바로 서 보기에 하기 위하여 프리즘을 사용하였다. 여기서 사용한 프리즘은 직각 이등변 삼각형의 포로 프리즘(Porro prism)을 서로 어긋나게 배치하여 상이 이것을 거치면서 도립된 상을 정립되게 한다. (도립의 상인 경우 좌우까지 같이 변하게 하므로 상대적 방향은 바뀌지 않는다. 그러나 거울을 하나 통과하면 좌우, 혹은 상하 하나만 바뀌게 되어 상대적 방향이 바뀐다. 즉 오른손은 왼쪽에 있고, 아니면 왼쪽이 제대로 있다면 머리가 아래쪽에 있고...)

 

 

오른편 그림에서 두 개의 프리즘이 네 번 반사시켜서 상을 바로 세우는 역할을 하는 것을 나타내었다. 그림에서 상하와 좌우가 모두 반대방향으로 되어서 하나의 볼록렌즈에 의해 생기는 실상을 바로 잡을 수 있게 한다. 이를 케플러식 망원경의 대물렌즈와 대안렌즈에 삽입한 형태가 바로 쌍안경의 기본 구조가 된다.

 

 

 

 

쌍안경은 왼편 그림과 같이 두 개를 일렬로 배치하되 접안렌즈를 가까이 접근 시킬 수 있어 상을 2배 더 밝게 보게 한다.

 

 

 

쌍안경의 원리를 알아보는 모의실험

화면에 렌즈 두 개, 거울 4개, 화살모양의 물체 하나가 주어져 있다. 이들은 모두 화면상에서 자유로이 배치할 수 있고 특히 거울의 경우에는 방향과 크기를 바꿀 수도 있다. 이들을 적절히 배치하여 광선의 진행을 관측해 보자. 특히 쌍안경, 잠망경의 구성이 되도록 배치하여 이들의 원리를 알아 보자. (실제의 쌍안경은 프리즘, 즉 여기서의 거울 두 개끼리가 서로 직각인 두 축 방향으로 배치되어 상을 바로 잡아주나 여기서는 거울 네 개를 평면으로 배치할 수밖에 없어 실제의 쌍안경에서 상을 바로 보게 하는 효과는 없어지고 단순히 경통의 길이를 짧게 해 주는 역할만 한다) <운용방법>