렌즈의 상

 

 

볼록렌즈에서의 결상

 

얇은 렌즈

렌즈의 두께를 무시할 수 있고 또한 렌즈의 중심축과 크게 벗어나지 않는 광선의 경우 그 광선이 렌즈에 의해 굴절되는 형태는 간단하게 작도해 낼 수 있다. 이러한 조건의 렌즈를 얇은 렌즈(thin lens)라 하고, 이와는 반대로 렌즈의 두께를 무시할 수 없는 일반적인 렌즈를 두꺼운 렌즈(thick lens)라고 한다. 얇은 렌즈에 대해서 상이 맺혀지는 결상의 원리를 알아보고 렌즈가 조합하여 만드는 광학기구들의 구조를 알아본다.

 

 

 

볼록렌즈

볼록렌즈는 양쪽이 볼록하거나 한쪽은 평평하고 다는 한쪽이 볼록한 경우도 있고, 안경처럼 한쪽은 볼록하고 다는 한쪽은 오목한데 이 면의 곡률반경이 볼록한 면의 곡률반경보다 더 큰 경우도 있다. 일반적으로 가운데가 가장자리보다 더 두꺼운 렌즈를 말한다. 이 볼록렌즈의 초점거리 f는 왼쪽과 오른쪽의 곡률반경을 각각 R1, R2라 할 때 (이때 구의 중심이 경계면의 오른편에 있을 때 +로, 왼편에 있을 때 -로 한다) 다음과 같이 주어진다. 여기서 n은 유리의 굴절률이다.

초점거리가 f인 볼록렌즈에 광축상의 점광원에서 나오는 모든 광선은 렌즈를 통과하여 한 점에 모여들게 된다. 이때 점광원(물체)의 위치가 렌즈의 왼쪽으로 a 떨어져 있고, 모여드는 점(상)의 위치를 렌즈의 오른쪽으로 b 떨어져 있다 할 때  다음의 식이 성립한다.

이 식으로부터 다음과 같이 쉽게 작도할 수 있는 세 개의 광선을 도입할 수 있다.

<1> 광축에 평행으로 진행하는 빛은 볼록렌즈를 통과한 후 오른편 초점(상초점)을 향하여 직진한다. (이는 앞의 식의 a를 무한대로 해서 알 수 있다)

<2> 렌즈의 중심을 통과한 빛은 그대로 통과한다. (이는 앞 식으로 직접 검증할 수는 없으나 앞의 원리와 다음 제시하는 원리로 증명할 수 있다)

<3> 왼편 초점(물체초점)을 통과한 광선은 렌즈를 통과한 후 평행광선으로 나간다. (이는 <1>의 반대과정으로 생각할 수도 있고, 또한 위 식의 a=f를 대입하여 알 수 있다.

이 세 광선 중 두 개로서 빛이 한 점에 모여들어 상이 맺히는 위치를 알 수 있다.

 

 

 

 

볼록렌즈의 상의 여러 형태

아래 프로그램으로 볼록렌즈에서 생길 수 있는 여러 가지 형태의 상을 관찰해 보자. 프로그램에서 물체의 위치, 볼록렌즈의 초점거리를 마우스로 이동시킬 수 있다 (색으로 표현된 부분). 조건을 변경시키면 즉시 위의 과정에 의해서 상이 맺히는 위치를 결정하고, 물체와 상의 좌표 값이 나타난다. 상의 위치, 물체의 위치는 프로그램 상단 왼쪽과 오른쪽에 각각 표시되어 있다. 이때 괄호안의 앞 숫자는 렌즈로부터 가로의 거리를, 뒤 숫자는 광축으로부터 위쪽으로의 거리를 나타내고 있다. 물체의 경우 렌즈의 왼편과 위쪽으로 , 상의 경우 렌즈의 오른편과 위쪽으로 +값을 갖도록 한다.

이 프로그램으로 다음의 각 경우에 대해 상이 맺히는 것을 관찰해 보자.

1) 초점거리를 처음에 주어진 100으로 유지하면서 물체가 렌즈로부터 떨어진 거리를 300으로부터 250, 200, 150, 100, 50으로 점차 렌즈로 다가가게 하면서 세 개의 광선이 형성되어 상이 맺어지는 원리와 상의 위치, 크기를 잘 관찰해 보자.

2)  물체의 위치를 200으로 하고, 초점거리를 300으로부터 점차 줄이면서 세 개의 광선으로 상이 맺히는 원리와 상의 위치, 크기를 잘 관찰해 보자.

 

 

 

 

 

실상과 허상

위 프로그램을 운용해 보면 물체의 한 점에서 나온 세 광선이 렌즈의 오른편에 모여들어 구체적인 상을 형성하는 경우도 있지만 경우에 따라 모여들지 않고 발산하는 경우가 있다. 이 발산하는 광선을 뒤로 추적해보면 물체가 있는 위치에서 벗어난 다른 한 지점으로 모여들어 마치 그 지점에서 빛이 발산해 나오는 것처럼 행동함을 알 수 있다.

실제로 광선이 한 점에 모여드는 경우를 실상, 발산하여 마치 렌즈 뒤의 한 지점에서 나온 것처럼 행동하는 경우 그 가상의 지점을 허상이라 한다. 허상이 생기는 경우는 물체가 초점거리 안에 있을 때이고, 실상은 물체가 초점거리밖에 있을 때이다. 실상의 경우 그 방향이 물체와 반대로 놓여 도립실상이라 하고, 허상의 경우 물체와 같은 방향으로 놓여 정립허상이라고 한다.

 

 

배율

허상이 생기는 경우는 언제든지 허상의 크기는 물체의 크기보다 커서 그 비를 말하는 배율이 1보다 크지만 실상의 경우 물체의 위치에 따라 그 배율이 1보다 클 때도 있고, 작을 때도 있다. (원래 배율은 가로배율과 세로배율이 있으나 여기서는 앞 프로그램에서 화살의 길이인 가로배율로 생각한다. 한편 도립상의 경우 이 가로배율을 -로 계산하나 여기서는 길이가 몇 배로 커지는가를 나타내는 +값으로 둔다.)

프로그램을 운용하여 알 수 있듯이 배율이 1보다 큰 경우는 물체의 위치가 f로부터 2f사이에 있을 때이고, 물체가 2f보다 멀어지면 배율이 1보다 작다.

 

 

오목렌즈에서의 결상 

 

오목렌즈

오목렌즈는 가장자리가 가운데 보다 더 두꺼운 렌즈를 말한다. 이 오목렌즈의 경우 초점거리 f는 앞의 볼록렌즈에서의 식을 공통으로 쓸 수 있어 f값이 -가 된다. (-부호를 써서 볼록렌즈나 오목렌즈를 공통의 식으로 다룰 수 있다)

오목렌즈의 경우에도 다음의 식이 성립한다. 단 이때 f가 - 값을 가지고 있다.

이 식으로부터 볼록렌즈 때와 마찬가지로 다음과 같이 쉽게 작도할 수 있는 세 개의 광선을 도입할 수 있다.

<1> 광축에 평행으로 진행하는 빛은 오목렌즈를 통과한 후 마치 왼편의 초점(물체초점)에서 나가는 광선인 것 처럼 진행한다.

<2> 렌즈의 중심을 통과한 빛은 그대로 통과한다.

<3> 오른편 초점(상초점)을 향하는 광선은 렌즈를 통과한 후 평행광선으로 나간다.

이 세 광선 중 두 개로서 빛이 한 점에 모여드는 결상되는 위치를 알 수 있다.

 

 

 

 

 

오목렌즈의 상

아래 프로그램으로 오목렌즈에서 생기는 상을 관찰해 보자. 프로그램에서 물체의 위치, 오목렌즈의 초점거리를 마우스로 이동시킬 수 있다 (색으로 표현된 부분). 조건을 변경시키면 즉시 위의 과정에 의해서 상이 맺히는 위치를 결정하고, 물체와 상의 좌표 값이 나타난다. 상의 위치, 물체의 위치는 프로그램 상단 왼쪽과 오른쪽에 각각 표시되어 있다. 이때 괄호안의 앞 숫자는 렌즈로부터 가로의 거리를, 뒤 숫자는 광축으로부터 위쪽으로의 거리를 나타내고 있다. 물체의 경우 렌즈의 왼편과 위쪽으로 , 상의 경우 렌즈의 오른편과 위쪽으로 +값을 갖도록 한다.

 

 

 

 

 

오목렌즈의 경우 정립허상만 생긴다

프로그램을 운용해 보면 볼록렌즈와는 달리 오직 정립허상만 생기되 그 배율은 1보다 작음을 알 수 있다.

 

 

 

 

가로배율과 세로배율

 

가로배율과 세로배율

보통 배율이라 하면 광축에 대하여 가로로 서 있는 화살의 상의 길이가 원래의 길이에 비하여 얼마나 커 보이는가를 말한다. 만일에 배율이 2라면 상의 길이는 원래 물체의 길이의 두 배가 된다. 그러나 경우에 따라 상의 방향이 달라지는 도립의 경우도 있으므로 이를 같이 나타낼 수 있도록 이 경우 음의 값으로 나타내면 편리하다. 이러한 배율을 가로배율(transverse magnification)이라 한다. 이를 Mt로 나타내면,

한편 광축과 나란한 방향으로 누워 있는 화살의 경우, 그 화살이 얼마나 커져 보이는가를 나타내기 위하여 세로배율(longitudinal magnification)을 정의한다. 이 세로배율은 가로배율의 제곱의 -값이다.

 

 

 

상의 왜곡

그 배율이 1이 아닌한 가로배율과 세로배율의 크기가 다르다. 따라서 폭을 가지지 않고 광축에 수직으로 서있는 화살과 같은 경우를 제외하면 그 물체의 상은 가로세로의 비가 달라져서 왜곡되어 나탄나다. 우리가 볼록렌즈로 신문의 작은 글씨를 확대해 볼 때처럼 신문의 면과 렌즈의 면을 나란하게 하면 허상은 그대로 커져서 보이나 만일 깊이가 있는 물체를 보게되면 심하게 왜곡되어 보이는 것을 알 수 있다.

 

 

 

상의 왜곡에 대한 모의실험

아래 프로그램은 볼록렌즈에서 생기는 물체의 상을 보여주고 있다. 여기서 렌즈의 위치, 렌즈의 초점거리, 물체의 중심위치를 마우스로 이동시킬 수 있다 (색으로 표현된 부분). 물체는 무지개 색으로 채색되어 있고 대응되는 부분의 상도 같은 색으로 채색되어 어떤 형태로 왜곡이 되는 지를 바로 알 수 있게 하고 있다. 한편 화면의 다른 영역에 마우스를 크릭하면 그림의 모양이 다음의 순서로 바뀐다.

      

여러 가지 상황에서 물체와 상의 관계를 잘 살펴보자. 그리고 가로배율과 세로배율이 달라지는 것과 물체가 왜곡되어 나타나는 지를 관측해 보자. (움직일 수 있는 것들이 화면을 벗어나게 되어 다시 돌려놓기 곤란한 경우에는 브라우저의 "새로고침"을 눌러서 초기상태로 한다.)

1) 처음의 상태(초점거리 75, 상의 중심위치 150)에서 원의 상이 실상이 왜곡되어 있는 것을 볼 수 있다. 세로배율이 가로배율의 제곱의 값을 가짐을 알 수 있는가? 이 경우 상의 좌우상하가 어떻게 바뀌어 있는가?

2) 처음의 상태에서 물체의 중심을 집어서 다른 지점으로 이동시켜 보면서 1)과 같은 관측을 해보자.

3) 볼록렌즈를 돋보기로 사용해서 물체를 관측하는 상황을 만들어 보자. 초점거리는 크게 하여 렌즈와 초점 사이에 물체를 둔다. 그리고 렌즈를 이동시켜 생기는 허상의 크기가 어떻게 달라지는지를 살펴보자.

4) 초점거리를 변화시켰을 때 상의 배율이 어떻게 달라지는지를 허상의 상황과 실상의 상황에서 관측해 보자.