특수상대성이론 2

 

 

상대론적 역학
 

 

고전역학과 상대론적 역학

역학은 물체가 힘을 받았을 때 운동이 어떻게 일어나는가에 대하여 통일적이고 체계적인 법칙을 세우는 물리의 한 영역이다. 이에 대한 최초의 그럴 듯한 역학 이론은 뉴튼이 운동의 세 법칙으로 정리할 수 있었고, 이는 거의 250년동안 깨어지지 않고 물리학을 지배하는 중심의 이론이 되었다. 물체가 힘을 받았을 때 이 힘에 비례하는 가속도가 생겨나고, 이 비례상수는 바로 그 물체의 질량에 반비례한다는 운동의 법칙은 달을 비롯한 천체의 운동이나 지상에 있는 사과의 운동 등에 두루 다 적용되어 한 치의 오차 없이 성립되는 듯이 보였다.

그러나 아인슈타인이 특수상대성이론을 제창한 이후 이 뉴튼의 역학체계는 새로운 해석이 필요할 수밖에 없게 되어 그 긴 생명력의 종지부를 지을 수밖에  없었다. 이전의 역학체계를 지금에 와서는 고전역학이라고 부르고 이 이론은 물체의 속도가 빛의 속력에 비하여 크지 않고, 에너지가 크지 않는 범위에서만 성립하는 근사이론에 불과하게 되었다. 그렇더라도 우리 일상생활에서 경험하는 속력은 빛의 속력에 비하여 100만분의 일 정도밖에 되지 않으므로 이 상대론의 효과를 거의 무시할 수 있다. 로렌츠 인수 (γ)가 1에서 0.0000000000005정도밖에 벗어나 있지 않기 때문에 길이수축이나 시간팽창의 효과는 거의 무시할 수 있어 뉴튼의 고전역학만으로도 충분하다.

그러나 물체의 속력이 빛의 속력의 0.1정도만 되더라도 상대론적인 관점에서 운동을 취급해야 마땅하다.

 

 

상대론적 운동에너지

아인슈타인은 우리가 보통 K = ½mv2 으로 표현하는 운동에너지의 상대론에 부합되는 상대론적운동에너지를 다음과 같이 얻을 수 있었다.

여기서 mo는 그 물체의 정지질량으로 그 물체와 같이 운동하는 좌표계에서 측정되는, 즉 고유시간이나 고유길이처럼 물체의 본직적인 질량이다. 그러나 움직이는 물체를 정지한 외부에서 관측하는 입장에서는 위 식과 같은 운동에너지가 있는 것으로 관측하게 된다. 이는 물체의 속력이 커지면 커질수록 그 속력의 제곱보다도 훨씬 큰 비율로 운동에너지가 증가하여 거의 빛의 속력에 이르러서는 운동에너지가 무한해 지게 된다.

이러한 점은 물체가 속력이 증가함에 따라 점점 더 가속되기가 힘들어지기 때문에 생겨난다. 질량은 물체가 자기의 운동을 지속하려고 하는 정도를 말하므로 가속되기 힘들어진다는 것은 질량이 증가하는 것을 말한다. 아인슈타인은 정지관측자가 운동하는 물체의 질량을 측정했을 때 다음과 같은 식으로 질량이 표현된다는 것을 알아내었고 이를 상대론적 질량이라 하여 다음과 같이 표현된다.

이 상대론적 질량을 운동질량이라 하거나 그저 질량이라고 하기도 한다.

즉, 물체의 속력이 빛의 속력에 가까이 가면 "시간팽창"과 같은 비율로 질량이 증가하는 것이다.

 

 

질량과 에너지의 등가성

질량불변의 법칙은 화학 반응에서 반응 전후의 질량이 같다는 화학에서의 법칙이다. 그러나 상대성이론의 아주 중요한 결과로 질량이 에너지로 변환되기도 하고 또한 에너지도 질량으로 변할 수 있는 관계에 있음이 밝혀지게 되어 이 질량불변의 법칙이 성립하지 않게 되었다.

운동에너지 식을 상대론적 질량 m 으로 표현하면 다음과 같다.

이 식은 정지한 물체가 운동하게 됨에 따라 증가한 운동에너지는 그 질량, 즉 상대론적 질량 m 에 포함되어 버리는 것을 알 수 있다. 한편 위 식에서 보듯이 질량을 에너지로 변환하는데에는 빛의 속도 c의 제곱이 곱해져서 변환되므로 그 에너지는 실로 막대한 크기를 가지게 된다. 또한 운동에너지는 단순히 운동하는 효과에 의한 부분만을 말하므로 이 식을 으로 표기하고 보면 정지하고 있는 물체도 의 에너지를 가지고 있어 이를 정지질량에너지라고 한다. 그리고 전체 에너지는 이 정지질량에너지와 운동에너지를 합한 것으로 나타내어 다음과 같은 질량-에너지 등가 관계가 성립된다.

이러한 관계는 화학반응을 비롯하여 원자핵 반응 등 어떠한 반응에서도 성립하는 사실로서 특히 소립자의 생성, 소멸 등에서 에너지가 질량으로 변하고, 질량이 모두 에너지로 모양을 바꾸는 일들이 관찰된다.  석탄을 땔 때 그 연소에너지가 빛이나 열의 형태로 방출된다. 이때 석탄재와 연소과정에서 생겨나는 이산화탄소 등 모든 기체의 질량을 합하면 원래의 질량에서 줄어든 것을 관측할 수 있는데 이 줄어든 양에 해당하는 에너지가 방출된 것이다. 이 경우에 어디에도 상대론적으로 운동하는 물체가 없으니 상대론의 효과가 끼어들 여지가 없어 보이지만 실제로 상대론의 여러 현상은 우리의 일상생활에서도 나타나는 일인 것이다.

한편 빛의 속도의 제곱이 질량에 곱해져서 에너지로 변환되므로 예를 들어 석탄 1kg 모두가 에너지로 변환된다면 그 양은 9 ×1016 Joule로서 이 에너지는 물을 1000m 높이로 9 ×1012 kg, 즉 90억톤을 퍼올릴 수 있는 막대한 에너지이다. <그러나 소립자 물리학에서의 여러 제한에 의하여 물체의 질량이 줄어드는 정도에 대한 한계는 있다>

 

 

 

상대론적으로 운동하는 물체의 겉보기 모양
 

 

길이수축과 겉보기 모양

빠른 속도, 즉 상대론적으로 운동하는 물체의 길이가 수축되게 관측된다는 것을 길이수축이라 한다. 이 길이수축은 물체의 양쪽 끝을 동시에 측정했을 때 그 둘 사이의 간격이 실제보다 줄어드는 것을 말한다. 그러나 우리 눈으로 움직이는 물체를 관측했을 때에는 이 수축된 모양이 그대로 나타나는 것은 아니다. 우리 눈은 물체의 양쪽 끝을 동시에 관측할 수 없는데 이는 빛의 속도가 유한하기 때문이다.(물론 물체의 중앙에서는 동시에 양 끝을 볼 수 있을 것이다)

예를 들어 우리로부터 멀어지는 긴 막대기의 경우를 생각해 보자. 그 막대기의 앞쪽은 눈으로부터 멀리 떨어져 있으므로 빛이 오는데 긴 시간이 걸리고, 뒤쪽은 앞보다는 빛이 빨리 도착하게 된다. 따라서 눈으로 동시에 관측한 앞뒤는 실제로 앞쪽이 뒤쪽보다 더 과거의 위치에 있는 것을 관측할 것이어서 길이가 더 짧게 느껴질 것이다. 이에 따라 눈으로부터 멀어지는 물체는 길이수축의 효과보다 더 심하게 수축되어 보이고, 이와는 반대의 논리로 반대로 다가오는 물체는 길이수축의 효과보다 덜하게 수축되어 나타날 것이다.

공간의 한 지점에서 관측한 주변 물체의 영상은 실제로 동시에 만들어진 영상이 아니라 거리에 따라 다른 과거의 영상이다. 밤 하늘의 별들은 실제로 너무 멀리 떨어져 있어 이 정도는 아주 심해 져서 달의 경우 30초, 태양의 경우 약 8분 이전의 영상이지만 북극성의 경우 800년 전의 모습이 지금 모두 동시에 보이고 있다.

 

 

아래 그림은  관측자를 향해서 다가오는 물체가 관측자의 시간 t 에   위치에 있는 상황이다. 그러나 그 순간 관측자는 물체가  겉보기 위치 에 있는 것으로 느끼게 된다. 즉 실제로 에 있을 때 발생한 빛이 비로소 그 순간에 관측자에 도달하는 것이다. 이 겉보기 위치는 관측자에 다가오는 경우 실제보다 더 먼 위치에 있을 것이고, 멀어저 갈 경우에는 실제보다 더 가까운 위치에 있을 것이다. 또한 겉보기 위치가 움직이는 속력은 실제의 물체의 속력과 달라져서 다가오는 경우에는 실제 속력보다 더 큰 값으로, 멀어져 갈 때에는 실제보다 더 작은 값으로 관측된다.

 

 

 

 

 

 

관측자를 향해 달려오는 직선의 막대기가 어떻게 왜곡되게 보이는 지를 나타내고 있다. 막대기의 위쪽은 아래보다 거리가 멀리 있어 더 과거의 위치를 보여준다. 이에 따라 직선의 막대기는 그림처첨 휘어진 것처럼 나타난다.

 

 

물체가 옆으로 운동하는 경우

앞서 설명한 것처럼 막대기가 누운 채로 다가와서 멀어져 가는 상황에서 다가올 때는 길이수축의 정도보다 더 긴 길이로 관측되고, 멀어져 갈 때는 길이수축보다 더 짧은 길이로 관측될 것이다. 한편 막대기가 곤두 선채로 다가올 때는 막대기의 가운데 쪽에서 보면 막대기의 가운데보다 가장자리가 더 멀어서 실제의 위치보다 보 과거의 위치에 있으므로 막대기가 관측자 쪽으로 볼록하게 보일 것이다.

 

 

옆으로 운동하는 물체의 겉보기 모양에 대한 모의실험

격자 물체가 운동할 때의 왜곡모양

 

 

 

오른편 그림과 같이 격자 두 개로 이루어진 물체가 오른쪽으로 움직이고 있다. 가까이 있는 격자는 관측점에서 50의 거리에 있고, 멀리 있는 격자는 관측점에서 100의 거리에 있다. 또한 격자는 변의 길이가 100인 정사각형을 이루고 있고 각 격자는 변의 길이가 10인 정사각형이다.

 

이 그림은 관측자의 시간이 0인 순간의 공간배치를 나타내고 있으나 실제로 관측자의 공간에서는 격자가 움직이는 속력에 따라서 가로 방향으로 압축된 채로 기하학적인 형상이 측정될 것이다. 그렇지만 격자의 모양이 직사각형을 유지하므로 전체적인 모양이 왜곡되게 측정되지는 않는다. <여기서 측정이라 함은 동시에 모든 지점의 좌표값을 읽어서 물체의 모양을 알아내는 것을 말한다.>

그러나 관측점에서 눈으로 관측하거나 사진을 찍는 상황에서 나타나는 물체의 겉보기 모양을 다음 프로그램을 통해 관찰해 볼 수 있다.

 

 

프로그램 운용방법

 

 

1. 화면의 왼쪽 아래에 있는 슬라이드바()를 조절하여 움직이는 물체의 속력을 변화시킬 수 있다. 이때 새로 설정된 속력으로 물체가 운동할 때 관측점에서 관측되는 어떤 순간의 겉보기 모양이 나타난다.

2. 화면 아래 중앙의 슬라이드바로 관측되는 순간의 시간 값을 조절할 수 있다. 시간이 0인 순간은 관측점과 격자의 중앙()이 일치하는 시간이다. 한편 이 프로그램에서의 시간이나 거리는 적절한 단위를 가지고 있는 것으로 생각하자.

3. 버튼을 누르면 현재의 시간으로부터 시간이 진행하고, 각 시간에 따라 나타나는 겉보기 모양이 위 화면에 나타난다.

 

 

 

직육면체의 왜곡

아래 그림은 직육면체가 오른쪽으로 움직이고 있는 경우에 왜곡되게 보이는 모습이다. 위에서 처럼 속도를 변화시켜 왜곡되는 정도를 잘 관측해 보자.

 

 

 

원기둥의 왜곡

아래 그림은 원기둥이 오른쪽으로 움직이고 있는 모습이다. 속도를 변화시켜 왜곡되는 정도를 잘 관측해 보자.

 

 

 

 

 

물체가 앞뒤로 운동하는 경우

 

 

터널 속을 달려가는 기차가 관측하는 겉보기 모양에 대한 모의실험

아래 그림처럼 정사각형의 단면을 가지고 있는 터널 속을 기차가 빠른 속력으로 이동하고 있다. 터널의 가장자리에는 같은 간격으로 정사각형으로 네온사인이 설치되어 있다고 생각하자. 네온사인은 붉은 색 두 개 건너 노랑 색이 있어 달려가는 터널의 중앙에서 보면 무수히 많은 붉고 노란 정사각형이 보일 것이다.

기차의 속력이 빛의 속력보다 훨씬 적으면 정사각형인 터널의 단면의 모양은 왜곡되지 않을 것이지만 기차의 속력이 빛의 속력에 다가가면 앞에서의 물체가 옆에서 운동하는 경우와 마찬가지로 왜곡이 될 것이다.

 

 

 

정사각형의 단면을 가지고 있는 터널 속으로 기차가 달려가고 있다. 터널의 중앙에서 터널의 가장자리에 규칙적으로 달려있는 정사각형의 네온사인을 보고있다.

 

 

 

 

터널의 벽에 달려있는 네온사인이 왜곡되어 보이는 모양을 흉내내주는 프로그램. 처음에 보이는 장면은 기차가 정지하고 있어 무수히 많은 사각형이 실제모양 그대로 보이고 있다. 이때 속도를 변화시키면 사각형이 어떻게 왜곡되는가를 보여주게 된다. 속도가 - 값이면 진행하는 방향으로 보는 그림이고, 속도가 + 이면 터널의 뒤쪽, 즉 멀어지고 있는 정사각형을 보게 된다. <계산관계상 터널의 일정한 거리까지만 그림으로 나타내었다>