특수상대성이론 1

 

 

빛의 속력과 에테르
 

 

에테르

보통의 파동은 모두 그 파동이 실려가게 되는 매질이 필요하다. 예를 들어 수면파는 물이라는 매질이, 음파는 공기라는 매질에 실려서 공간으로 퍼져 나가게 된다.

19세기에 들어 빛이 파동이라는 증거가 명확해질 즈음 빛의 파동이 전파되는데 필요한 매질의 존재가 필요로 하게 되었다. 이를 에테르라고 명명하여 이의 존재를 직접 확인하려는 시도가 시작되었다. 이 에테르는 빛이 진공 중에도 전파되는 것으로 보아 물질이 텅 비어 버린 진공조차에도 충만된 그 무엇이라 생각할 수 있었고, 또한 보통의 물체의 운동에 거의 영향을 주지 않을 것으로 생각되었다.

수면파의 매질인 물의 경우 표면이 줄어들려고 하는 표면장력이나 물 전체의 무게중심이 낮아져서 표면이 수평을 이룰려고 하는 중력이 있어 부분적인 수면의 변동은 평평한 수면으로 곧 되돌아 가게 된다. 그러나 한 지점에서의 물의 운동은 또한 인접한 지점에서의 새로운 물의 운동을 유발하게 되어 파동의 형태로 공간을 전파하는 것이다. 이러한 양상은 음파나 줄의 파동 등에서도 마찬가지로서 매질이 탄성을 가지고 있다고 말한다.

따라서 빛의 파동설을 처음으로 제창한 호이겐스는 단단하며 탄성이 있는 작은 입자의 집합체로서의 에테르를 가정하였다. 그 후 여러 물리학자들이 이 에테르의 행동을 연구했으나 광학의 발전에 따라 이 에테르의 실체를 조금씩 달리 해석해야 되었다.

비록 실험적으로 그 실체를 확인할 수 없었다 하더라도 이 에테르의 존재가 의심의 여지 없이 받아들여지고 나자 이제부터 중심되는 문제점은 에테르가 우주공간에 정지해 있는가, 또는 운동물체와 함께 움직이고 있는가 하는 문제가 되었다.

 

 

마이켈슨-몰리 실험

마이켈슨과 몰리는 에테르의 존재를 확인할 수 있는 특별한 실험장치를 고안하였다. 에테르가 존재한다면 이것은 우주에 충만되어 있으니 우주의 좌표계에 정지하고 있거나 흐르고 있을 것이라 생각 할 수 있을 것이다. 즉 지구의 공전과 자전에 따라 지구는 아주 빠른 에테르의 흐름 속에 있을 것이라고 생각할 수 있을 것이고 이는 측정할 수 있게 된다.

 

강물이 오른쪽으로 흐르고 있는데 배를 저어 왕복하고 있다. 강물에 수직한 방향으로와 나란한 방향으로 같은 거리를 다녀올 때 어느 배가 먼저 도착하겠는가? 배의 속력이나 왕복 거리를 알았을 때 배가 왕복하는 시간차이로 강물의 속력을 알아낼 수 있을까?

 

 

마이켈슨과 몰리는 위의 강물에 배를 왕복시키는 것과 같은 실험을 빛에서도 행하였다. 그 시간차이는 두 빛의 간섭으로 정확하게 측정할 수 있으나 지구의 운동에 의해 흐르게 될 에테르의 존재를 실증하지 못하였다.

 

 

 

 

아인슈타인의 두 가설
 

 

 

상대성 이론에서의 두 가설

아인슈타인은 에테르라는 매질의 존재가 부정되는 마이켈슨-몰리의 실험 결과를 수용할 수 있게 빛의 속력의 불변성의 가설을 도입하고, 또한 운동의 상대성 원리의 가설을 도입하여 시공간의 개념에 대한 일대 혁신적인 변혁을 불러 일으켰다. 그것이 미치는 가공할 만한 여파에 비하여 아인슈타인의 상대성 이론의 두 가설은 다음과 같이 너무나 간결하고 명확하다.

가정 1 (상대성 원리): 모든 관성계에서의 물리 법칙은 동일하다.

가정 2 (광속불변의 원리): 모든 관성계에서의 빛의 속력은 일정하다.

가정 1은 관성계의 경우 그 관성계의 속력 등 운동을 관측하는 특별한 실험은 불가능하다는 것을 말해 준다. 서로 등속으로 운동하는 각각의 좌표계에서의 물리 법칙은 다름이 없으므로 절대기준계를 도입할 방법은 없는 것이다.

이에 비하여 가정 2는 선뜻 받아들이기가 쉽지 않다. 달리는 기차에서 빛을 비추었을 때 그 빛의 속력을 바깥에서 관측하면 빨라져야 하지 않겠는가? 비록 빛의 속력이 0 이라 하더라도 밖에서는 기차의 속력과 같이 측정되어야 하지 않을까? 이러한 모순같은 일이 성립하기 위해서는 기차에서 시간과 바깥에서 시간이 서로 다르게 가야 한다. 만일 기차속에서의 시간이 천천히 간다면 가정 2를 충족시킬 방법이 있을 것이다.

이렇게 지금까지 등속으로 운동하는 좌표계나 정지한 좌표계나, 심지어 가속운동을 하는 좌표계나 어디에서나 시간은 동일하게 흐르는 보편적인 물리적 개념으로 생각했던 생각을 떨쳐 버려야 하게 되었다.

 

 

 

 

사건의 동시성
 

 

시공간연속체

이제 시간은 보편적인 상수가 아니라 관성계에 의존한다는 것을 인정해야 한다. 관성계의 각 지점지점에도 나름대로의 시간이 흘러 간다고 하면 한 관성계의 좌표점마다 시간이 흘러가는 것을 측정할 수 있을 것이다. 이러한 것을 시공간연속체라고 한다.

아래 그림은 공간의 각 격자점에 제각각 시계를 가지고 있는 그림이다. 이 시계는 각각 그 지점의 현재의 시간의 흐름을 나타내고 있다. 그림에서 편의상 격자점에만 시계를 그렸지만 실제로 공간은 연속적으로 분포하고 있으므로 시계를 무한히 적은 간격마다 도입해 낼 수 있다.

 

 

동시성

아래 그림을 보자. 그림에서 한 우주선은 오른쪽으로 운동하고 있고 한 우주선은 정지해 있다. (운동하고 있다거나 정지하고 있다는 것은 한 이 화면을 보고 있는 사람의 입장에서 하는 말이고 절대적으로 규정할 수는 없다고 상대성 원리에서 말한 바 있다) 두 우주선이 스쳐 지나갈 때 마침 우주선의 머리와 꼬리 부분에 운석이 떨어져 불꽃을 내게 되었다. 이 두 사건(event)가 동시에 일어났을까?

 

 

 

 

위쪽 우주선 A에서는 항상 두 사건이 동시에 중앙에 있는 관측자에게 관측된다는 것을 알 수 있다. 우주선에 운석이 충돌되는 사건이 일어난 두 지점이 중앙의 관측자로부터 같은 거리 떨어져 있고, 그 사건이 일어나는 장면이 같은 시간 후 관측자에게 도달한다는 것을 알고 있으므로 관측자는 그것이 자기가 관측한 시점으로부터 몇 초 전에 동시에 일어났다고 말할 수 있는 것이다. 이는 비록 관측자가 중앙에 있지 않아서 두 사건이 시차를 두고 관측된다 하더라도 그 사건이 일어나는 지점과의 거리 차이에서 시차가 오는 것이라는 것을 감안하면 역시 동시에 사건이 일어났다고 말할 수 있을 것이다.

그러나 아래 우주선 B에서는 사정이 달라진다. 이 우주선은 오른쪽으로 움직이고 있으므로 자기 우주선의 양 끝에서 충돌시 생긴 펄스가 동시에 도달하지 못하고 앞에서 생긴 펄스가 더 빨리 도착한다. 관측자는 자기가 두 사건이 일어난 지점의 중앙에 있는 줄 알고 있는데다가 빛의 속력은 어떤 상황에서도 일정하므로 앞의 충돌이 뒤의 충돌보다 먼저 일어난 사건인 것으로 인식하게 된다. 이 시차는 우주선이 빨리 움직일수록 더 커진다는 것을 위 그림을 반복해서 관측해보면 알 수 있다.
 

 

두 사건이 동시, 즉 같은 시간에 일어났는지는 그 사건을 관측하는 관성계에 따라 달리진다는 것을 알 수 있다. 그리고 동시에 일어나지 않은 두 사건의 시차도 빛의 속력이 일정하다는 것을 이용하여 계산해 낼 수 있을 것이다.

 

 

 

 

 

시계맞추기

한 관성계에서 시간의 흐름이 공간의 지점마다 제멋대로 정의될 수는 없을 것이다. 광속불변의 원리는 빛이 진행한 거리는 시간에 비례한다는 것을 말하고 있으므로 빛을 매개로 하여 한 관성계에서의 시간을 전부 통일 시킬 수 있게 된다.

아래 그림을 보자. 각각의 시계는 제멋대로의 값을 가지고 가고 있다. 이때 "시계맞추기" 버튼을 누르면 색으로 바탕이 표시된 시계로부터 펄스가 방출된다. 이 펄스는 동심원으로 퍼져나가서 주변의 시계를 펄스를 방출한 시계와 같은 시간값으로 맞추게 된다. 물론 펄스를 방출한 시계의 방출 당시의 값으로 맞추는 것이 아니고 그 시계까지의 거리를 알고 있으므로 펄스가 오는 소요시간을 감안하여 더 진행된 값으로 맞추는 것이다.

"흩트리기" 버튼을 누르면 다시 시계는 제멋대로의 값을 가지게 되고, 한편 시계위를 클릭하면 그 시계가 다른 시계를 맞추는 중심 시계가 된다.

 

 

 

 

시간팽창
 

 

 

서로 운동하는 시계가 다르게 가는 이유

아래 그림을 운용해 보자. 그림에서 "시작" 버튼을 누르면 객차 두 개로 이루어진 기차가 오른쪽으로 움직이게 된다. 이때 기차의 뒤쪽 객실에서는 간단한 물리 실험이 이루어지고 있다. 바닥에 위치한 광원에서 레이저가 나와 천장의 거울에서 반사되어 광원으로 되돌아 오게 된다. 그림은 두 개로 분할되어 있는데, 좌측의 화면은 기차와 같이 달려가면서 보는 그림으로, 즉 관찰자가 기차와 같은 관성계에 있다. 한편 오른편 화면은 지상에 관찰자가 본 모습이다.

빛이 반사되어 되돌아 오는 동안 빛이 움직인 거리는 두 관찰자가 다르게 측정하게 된다. 즉 지상관찰자의 경우 기차관찰자보다 빛이 더 긴 거리를 운동한 것이 되어 시간이 더 많이 진행되었을 것이다. 즉 기차 안에서의 시간 진행이 지상의 경우보다 시간이 더 더디게 간다.

 

 

 

 

 

이렇게 운동하는 물체의 시계가 더 더디게 가는 것을 시간팽창(time dilation)이라 한다.

이제 그 시간이 더디게 가는 비율이 얼마나 되는가를 위 그림과 같은 실험 상황으로부터 구해 보기로 하자. 지상관측자의 시간 진행을 T 라 하면 이 시간동안 기차는 vT 만큼 진행하게 된다. 이 시간동안 빛은 cT 동안 비스듬한 경로로 진행한다. 한편 기차에 탄 관측자는 이 시간동안 To 시간이 소요되었는데 이 시간동안 빛은 2L의 거리를 위, 아래로 진행한다. 이 거리는 cTo 와 같다.

아래 그림에서 색으로 표시한 직각삼각형에 피타고라스 정리를 적용하면,

이 된다. 한편

이므로

가 된다.

 

 

이 식은 형으로 쓸 수도 있다.

이에 따르면 기차속의 시간의 흐름 To는  밖의 관찰자의 시간흐름 T에 비하여 의 비율로 더디게 가는 것을 알 수 있다. 이 비율은 기차의 속력 v가 커질수록 작아져서 거의 빛의 속력인 c가 되면 0이 된다. 즉 시간이 거의 흐르지 않는다!

 

 

여기서의 To 처럼 정지해 있는 시계로 잰 시간을 고유시간이라 한다. 항상 고유시간은 다른 어떤 시간보다 더디게 간다.

 

 

 

 

 

 

로렌츠 인수
 

 

로렌츠 인수

시간지연에서의 계산에서 보듯이 상대성 이론의 여러 관계식은 피타고라스 정리의 적용 정도의 간단한 계산으로 유도된다. 여러 가지 관계식 속에는 공통으로 위의 제곱근 식이 쓰여서 이 인자에 대하여 잘 이해할 필요가 있다.

이 제곱근의 값은 물체의 속력 v 와 빛의 속력 c 와의 비로서 결정되는데 보통 이 제곱근의 역수를 로 나타낸다. 즉

이 로렌츠 인수는 차원이 없는 양으로서 상대성 이론에 자주 나온다. 아래 그림은 이 값을 속력의 함수로 그린 그래프이다. 식에서 볼 수 있다시피 속력이 0인 경우에는 이 값이 1이지만 조금이라도 속력의 값을 가지고 있으면 이 값은 1보다 커진다. 그리고 빛의 속력에 접근하면 이 값은 무한히 커진다. 이 인수의 특이성이 상대론의 특이한 현상을 그대로 나타낸다.

 

 

 

그림 : 로렌츠 인수 (gamma)를 물체의 속력 v로 나타낸 그래프. 그래프 위를 마우스로 클릭하면 속력에 대한 값을 알 수 있다.

 

 

한계의 속력 c

로렌츠 인수 로 시간팽창을 나타내면 다음과 같다.

여기서 To는 움직이는 물체와 같이 가는 좌표계에서의 시간, 즉 고유시간이고, T는 이때 외부 관측자의 시간이다. 이 식에서 알 수 있듯이 외부관측자는 움직이는 물체 내에서 일어나는 시간의 흐름이 훨씬 길게 느끼게 된다. 이를 시간팽창이라 하였지만 물체의 속력이 빛의 속력에 필적해지면 이 로렌츠 인수 가 무한히 커져 T에 비하여 To는 0에 접근하게 된다. 물체의 속력이 빛의 속력이 되면 물체속에서의 시간의 흐름은 정지한 듯이 되고, 이 속력을 초과하게 되면 는 허수가 되어 더 이상 이런 논의를 하는 것이 무의미해진다. 즉 물체가 가질 수 있는 한계속력은 이 값이 유한한 경우로 제한되어 물체가 가질 수 있는 한계 속력은 바로 빛의 속력이라 할 수 있다.

 

 

 

길이수축
 

 

길이가 짧아진다!

정지해 있는 물체의 길이를 재려면 두 끝에 자를 대어 그 눈금을 읽어주면 된다. 그러나 물체가 움직이고 있을 때는 어떻게 하겠는가? 앞과 뒤가 우리의 정지해 있는 좌표계에 스쳐지나가는 점을 표식하여 그 두 점간의 거리를 재면 될텐데 만일에 앞 뒤를 다른 시간에 표식을 하게 된다면 길이는 제멋대로의 값, 심지어는 -값도 가질 수 있을 것이다.

앞과 뒤를 동시에 측정해야 한 것이 정확한 물체의 길이로 정의 하도록 하자. 이렇게 하면 한 좌표계에서 가장 합리적이고도 유일한 길이의 정의가 될 것이다. 물론 이렇게 측정한 길이는 실제의 물체의 길이와 반드시 같지 않고 단지 특정한 한 좌표계에서 관측한 길이에 불과하다.

 

 

위 우주선(♂)과 중앙의 자는 화면(screen)에 대하여 정지해 있고 아래 우주선(♀)은 이들에 대하여 오른쪽으로 속력 v로 움직이고 있다. ♂에서 자의 길이를 관측하여 Lo를 측정하였다.

자는 ♂에 대하여 정지해 있으니 시차를 두고 측정하거나 동시에 측정하거나 관계없이 자의 본래 길이(고유길이)를 측정하게 되나 ♀에서 자의 길이를 측정하는 데에는 주의가 요망된다.

 

 

아래 우주선(♀)에 자의 길이를 측정할 때에는 자가 우주선을 스쳐 지날 때 동시에 자의 앞과 뒤의 지점에 표식을 해 두고 표식간의 거리를 재어야 할 것이다.

 

 

 

 

아래 그림은 위 우주선(♂)에서 자의 길이를 재는 절차를 보여주고 있다. 이때 속도 v로 운동하는 아래 우주선(♀)를 이용하고 있다. 아래 우주선의 표식 부분이 자를 완전히 스쳐 지나가는 시간을 측정해 본 결과 △t인 것을 알았다. 따라서 자의 길이는 △t = Lo/v 식으로부터 Lo = v△t 로 측정될 것이다.

 

한편 아래 우주선 ♀이 자의 길이를 재는 절차를 보여주고 있다. 이 우주선에 대하여 자는 왼쪽으로 속력 v로 움직이고 있으므로 이 우주선의 표식 부분에 자의 앞과 뒤가 지나가는 시간차를 측정해 본 결과 △to 이라 하자. 자는 v의 속력으로 움직이는 것이 명백하므로 △to = L/v 식이 성립하여 L = v△to 가 된다.

 

위에서 설명한 두 우주선에서 자의 길이를 측정하는데 동일한 두 사건을 이용하였다. 즉 아래 우주선 ♀의 표식 부분이 자의 왼쪽 끝에 일치하는 사건과 역시 ♀의 표식 부분이 자의 오른쪽 끝에 일치하는 두 사건이다. 위 우주선에서는 이 두 사건이 동일한 장소에서 일어 나지 않고 동시화된 자신의 좌표계의 시계로 그 시간 간격이 △t 으로 측정되었고, 아래 우주선에서는 두 사건이 동일한 지점에서 측정되었고 자신의 시계로 그 시간 간격이 △to 이다. 따라서 두 사건이 일어나는 시간 간격은 좌표계에 따라 달라서 이 경우에는 △t = △to 이 된다. 즉 시간팽창에서 설명한 것처럼 △t 가 팽창되어 큰 값을 갖는다. 이에따라 자의 길이도 L = Lo / 이 되어 자와 함께 정지한 고유길이에 비하여 운동하는 자는 1/ 의 비율로 수축되어 보인다.

즉 운동하는 물체의 길이를 관측했을 때 이 물체의 길이가 줄어들게 관측된다는 이 현상을 길이수축이라 한다. 그러나 이 길이수축이 실제로 물체가 줄어드는 것으로 생각해서는 안된다. 이는 단지 자신과 다른 좌표계에서 측정을 했을 때 생겨나는 효과에 불과한 것이고 자기의 좌표계에서는 그 길이가 본연의 길이, 즉 고유길이 그 자체로 남아 있기 때문이다.

<"시간팽창"에서 기차가 움직이는 프로그램을 잘 관측해 보면 기차가 운동방향으로 짜부러져 보이는 것을 발견할 수 있을 것이다>