전자회절 실험

실험목적

전자를 결정에 쏘여서 전자가 회절되는 현상을 조사한다. 파동으로서의 전자가 결정에서 회절되는 원리를 이해하고 전자의 물질파 파장, 결정의 격자상수등을 구한다.

이론

 <전자의 물질파 파장>

드브로이(de Broglie)의 이론에 의하면 전자 등 입자들도 파동의 성질을 같이 가지고 있다. 이를 물질파라한다. 입자로서의 속성인 운동량(p), 에너지(E)는 파동의 속성인 파장(λ), 진동수(ν)와는 다음과 같은 관계가 있다.

   <식 1>

전자가 빠르게 움직일수록 물질파 파장은 점점 줄어들게 된다. 결정체에 의해서 전자가 회절 되는 것을 관측하기 위해서는 전자의 물질파 파장이 결정의 격자상수의 크기 정도가 되어야 한다. 전자를 직류전원 V에 의해 가속시켰을 때 얻는 속력 v는 다음과 같다.

  <식 2>

또한 이 속력의 전자의 물질파 파장은

  <식 3>

여기에 m, e, h의 값을 대입하고 파장 를 Å 단위로, 가속전압 V를 Volt 단위로 했을 때 본 실험에서 사용하기 적당한 다음 식이 된다.

  <식 4>

가속전압을 증가시키면 전자의 속력이 점점 빨라지게 되어 고전역학으로 유도한 위의 식들은 수정이 되어야 한다. 상대론에 의하여 1차 보정항까지 포함하면

        <식 5>

 <결정에서의 회절>

고체는 원자의 배열이 규칙적인 결정체로 되어 있거나 아무런 질서가 없는 비정질로 되어 있는 경우가 있다. 결정체로 되어 있는 경우 그 결정의 격자간격과 비슷한 정도의 파장을 갖는 X-선이나 전자를 비추면 각각의 원자들에 의해 산란되어 특이한 회절 무늬가 생기게 된다. 이에 대한 현상은 브랙(Bragg)에 의하여 설명되어 브랙 회절이라고 하기도 한다. 어떤 결정면에 대하여 회절이 일어나는 각도는, 결정체의 평행한 평면들(브랙 면)의 층간격을 d라 할 때 다음 조건을 만족한다.

    <식 6>

여기서 n은 반사차수(reflection order)라 하며 가 1을 넘지 않는 범위에서 1, 2, 3 등의 순차의 정수값을 가진다.

한편 브랙 면은 "마이크로파 브랙 실험"의 그림 2에 있는 것처럼 여러 가지가 있다. (100), (110)등 (hkl)으로 각각의 면을 표시하는데 면간의 거리 d는 면에 따라 달라진다. 예컨대 결정이 격자상수가 a인 입방체이면

    <식 7>

(hkl)면에서의 n차 반사의 경우 (6)식은 다음과 같은 형태로 쓸 수 있다.

        <식 8>

이는 d가 d_hkl/n인 가상적인 면에서의 1차 반사인 것으로 취급할 수 있다. 이러한 가상적인 브랙 면을 (nh,nk,nl)으로 표기하여 회절을 이해하면 여러모로 편리하다. 예를 들어 (110) 면에서의 2차 반사를 (220)에서의 1차 반사로 취급할 수 있게 된다.  실제로 (220)면은 격자점을 이어준 브랙 면이 아니고 브랙 면인 (110)면 중간 중간에 면을 하나씩 삽입한 면이 될 것이다. 이 경우에도 (7)식은 여전히 유효하게 된다. 그리고 회절관계식은 가상적인 브랙 면 모두를 포함하는 (hkl)면에 대하여 다음과 같이 간단한 형태로 쓸 수 있게 된다.

        <식 9>

본 실험장치에서 가속된 전자는 다결정인 고체에 비추어 진다. 다결정(polycrystalline)은 단결정(배열이 완전히 규칙적인 결정)들이 조각난 채로 결정면들이 제멋대로 놓여 덩어리 진 것을 말한다. 다결정 속에는 모든 방향으로의 결정면이 있다고 볼 수 있기 때문에 위의 (6)식을 만족하는 상황이 여러 가지 생긴다. 그림 1 에서 나타낸 것과 같이 회절각이 2θ로 회절된 전자는 형광 스크린에 부딪혀서 원형의 밝은 무늬를 만든다. 무늬의 반경을 재어서 θ를 알아내고 이로부터 d를 알아내게 된다.

그림 1. 다결정에 의하여 회절된 전자가 만드는 원형회절무늬. 위에서 가속된 전자가 다결정 (polycrystalline) 에 의해 2 회절되어 형광면에 반경 r의 원형 무늬를 만든다.

그림에서 원형 무늬의 반경 r은 다음 식을 만족한다.

     <식 10>

가 작은 값일 때에는 tan2θ≒2θ, sinθ≒θ의 근사식을 쓸 수 있어 (6)식과 (7)식으로부터 d를 r로 직접 다음과 같이 나타낼 수 있다.

      <식 11>

실험에서는 전자의 가속전압으로부터 전자의 물질파 파장을 알아내고, 또한 측정한 원형무늬의 반경으로부터 d를 알아내게 된다.

또한 브랙 평면이 어떤 결정에 대하여 무수히 많기 때문에 각각의 면에 대하여 결정면의 간격 d가 다 다르게 주어지므로 실험을 통해서 알아낸 d가 어떤 면에 대응되는 것인지를 알아내어야 한다.

미지의 결정에 대하여 회절실험을 하였을 때 원형 무늬 하나만 관측하게 된다면 이 무늬가 어느 면에 대응되는 지 모르게 된다. 그러나 원형무늬를 두개 이상 관측하게 된다면 대응되는 브랙 면을 추정할 수 있어서 그 결정의 격자간격, 결정의 모양 등을 측정할 수 있게 된다.

실험장치

< 전자회절관과 전원 >

실험장치는 전자회절관과 이에 전압을 공급하는 부분(전원장치 : power supply)으로 구성되어 있다. 전자회절관은 그림 2.처럼 열전자를 방출시키는 음극(cathod : K로 표기)이 있고 그 앞에 전자를 가속시키는 전압을 걸어주는 양극(plate, anode : P로 표기)이 있어 4kV∼7kV 정도의 +전압을 걸어주게 된다. 그림에서 초점을 맞추어 주는 역할을 하는 그리드(grid)는 표시하지 않았다. 양극 가운데에 있는 구멍을 통과한 가속 전자는 앞에 놓여 있는 다결정(금이나 그라파이트(graphite)의 박편을 주로 쓰게 됨)에 의하여 회절 되어, 앞의 형광면에 부딪혀서 형광을 발하게 된다.

한편 전원장치는 전자의 초점을 맞추어주는 기능을 하는 손잡이와 양극의 가속전압을 조정하는 손잡이, 양극에 걸리는 전압을 바로 측정할 수 있는 전압계로 구성되어 있다.

그림 2. 회절관과 주변의 회로 연결상태 

그림 3. 실험장치. 가속전압 조절 손잡이에 의해 양극에 7kV까지의 전압이 걸린다. 그 전압값은 오른쪽의 전압계로 읽혀진다.

< 시료 >

시료는 진공인 회절관 내부에 고정되어 있어 교체할 수 없다. 시료로는 다결정이나 단결정의 분말상태를 사용하여 형광스크린에 원형의 무늬가 나오게 한다. 시료에 따라 결정모양이 달라지므로 해석을 달리해야 할 것이다. 보다 근본적으로는 미지의 시료의 결정모양을 알아내는 것이 전자회절의 응용이라 할 수 있겠지만 그러기 위한 실험장치는 훨씬 정교해져야 하기 때문에, 본 실험에서는 시료의 알려진 정보를 가지고 회절무늬를 해석해 내는 것과 또한 전자의 파동성을 규명하도록 한다.

시료로서 금의 박편을 사용한다면 금의 결정은 상온에서 면심입방체(fcc)상태로 있게 되고 격자상수는 4.08Å이다. 면심입방체의 경우 면의 중심에 있는 격자점의 영향으로 인하여 (100)면이나 (110)면에서의 회절은 없으나 (200)면, (111)면, (220)면 등에서의 회절은 있다. 각각의 회절면과 그에 대한 면간격 d는 표 1과 같다.

표 1. 금의 회절면과 각 면의 면간격
 

실험방법

 < 실험을 시작할 때 >

(1) 전원부의 전원스위치를 끈 상태에서 전자회절관의 플러그를 전원부에 연결한다.

(2) 가속전압의 손잡이와 초점조절손잡이를 최대한 반시계방향으로 돌린다.

(3) 전원스위치를 켠다.

< 측정 >

(1) 전원부의 가속전압조절 손잡이를 시계방향으로 서서히 돌리면서 가속전압이 증가되는 것을 본다. 가속전압을 2kV 이상으로 하고, 초점손잡이를 시계방향으로 적당히 돌리면 화면에 회절무늬가 나타날 것이다.

(2) 가속전압과 함께 회절무늬의 반경을 측정한다. <주의> 한번의 반경 측정이 끝난 후에는 즉시 초점 손잡이를 반시계방향으로 돌려서 화면의 밝기를 최소한으로 줄인다. 시료에 계속 전자를 조사하면 시료가 파손되기 때문이다.

(3) 이때 가속전압을 더 증가시키면 원형의 회절 무늬의 반경이 서서히 줄어 들 것이다. 그리고 어느 전압으로부터는 원형의 무늬가 하나 더 바깥쪽에 나타날 것이다. 이때부터는 가속전압과 함께 나타난 모든 원형의 반경을 측정한다.

(4) 가속전압을 조금씩 증가시켜서 각각의 원의 반경을 계속해서 측정한다. 이때 각각의 측정시 마다 위 (2)의 주의사항을 지켜야 한다.

(5) 실험기구가 허용하는 가속전압까지 측정을 한다.

(6) (1)-(6)의 실험과정을 수회 되풀이 한다.

< 측정을 끝낼 때 >

(1) 가속전압 손잡이와 초점조절손잡이를 최대한 반시계방향으로 돌린다.

(2) 전원을 끈다.

(3) 전자회절관의 플러그를 전원부에서 분리한다.

< 전자의 물질파 파장 측정 >

시료에 대한 정확한 데이터를 알고 있을 때에는 측정 결과로부터 전자의 물질파 파장을 구해내고 이와 드브로이 가설에 의한 물질파 파장과 비교하여 드브로이 가설을 확인해 볼 수 있다.

(1) <측정>에서의 데이터로부터 각각의 회절 무늬가 시료의 어느 면에 의한 것인지를 알아내고 이 면의 d를 확정한다. 이를 위하여 되도록 이면 가속전압이 크고 원형 무늬가 많이 나온 상황의 데이터와 비교하여야 할 것이다.

(2) d를 알게 된 한 원형무늬의 반경으로부터 가속전압의 변화에 대한 파장의 변화를

(9)식과 (10)식(혹은 근사식 (11)식)을 이용하여 계산하여 표로 만든다.

(3) 이 표를 가로축을 로 하고 세로축을 파장으로 하여 그래프로 그린다.

(4) 이 그래프와 아론적인 관계식인 (4)식 (혹은 (5)식)을 비교하여 드브로이 가설을 확인한다.

< 실험결과의 예 >

다음은 시료로 금의 박편을 사용하고 시료와 형광면 사이의 거리 L = 150mm인 전자회절실험장치(Shimadzu Rika Instruments Co.의 Model EG-10)를 이용하여 실험한 경우의 측정 결과이다.

표 2. 측정결과의 예
 

측정의 결과를 근사식인 (11)식에 대입하여 d1, d2을 대강 계산하면 각각 2Å, 1.2Å 정도가 된다. 엄밀하게 계산하려면 (9)식과 (10)식으로부터 근사를 쓰지 않고 계산해야 할 것이다. (반경 r이 L에 비하여 무시할 수 있을 정도로 작지 않기 때문임)  이 결과를 표 1과 비교하여 보면 (200)면과 (311) 면에서의 반사임을 알 수 있다.

질문

(1) (4)식, (5)식을 유도하라.

(2) (7)식으로부터 표 1을 확인해 보라.

(3) 상대론적인 보정을 하는 경우와 하지 않는 경우 결과에 대한 차이가 있는가? 이로부터 상대론적인 보정이 필요한 전자의 가속전압의 크기를 생각해 보자.

(4) 근사를 쓰지 않고 (11)식의 엄밀한 형태를 유도해 보라.

(5) 실험 결과에서 원형의 무늬가 밝기의 차이가 있었다면 그 이유는 무엇일까?

참고도서

(1) "물리학총론" H. Resnick 원저, 김종오 역, 교학사, 43-1절(1137∼1141쪽)

(2) "현대물리학" 2판, R. Eisberg, R. Resnick 원저, 김종오 외 번역, 교학사, 3-1절 (64∼71쪽)

(3) "현대물리학" 4판, Beiser 원저, 현대물리연구회 역, 반도출판사, 3-5절 (117∼121쪽)

(4) "Intorduction to Solid State Physics" C.Kittel저, 2장 (39∼40쪽) : Bragg법칙 자체에 대하여 잘 설명되어 있다.