로렌츠 변환

시공간 간격

비상대론에서는 공간의 3차원과 시간의 1차원이 서로 별개로 주어진다. 즉 시간은 공간의 좌표계의 선택에 관계없이 일정하게 진행되므로 시공간의 차원은 4차원이라기보다 3차원 + 1차원으로 취급한다. 이 공간의 3차원은 좌표계의 선택에 따라 좌표값들이 다르게 매겨질 수 있다. 물체의 운동을 기술할 때 기본이 되는 좌표계를 바꾸는 것을 좌표변환 (coordinate transformation)이라고 한다. 이들 좌표변환 중에는 의 좌표축을 한번에 회전시키거나 병진이동 시키는 경우도 있고, 회전이나 병진을 시간에 따라 서서히 진행시키는 경우도 있다. 특히 좌표계를 등속으로 병진이동시키는 좌표변환을 갈릴레이 변환 이라 한다. 고전 물리에서 이갈릴레이 변환에 대해 물리법칙이 그대로 성립하여 이를 관성기준계라고 한다.

공간의 두 지점사이의 거리는 좌표계에 무관한 양이므로 어떤 좌표변환을 하더라도 이 값이 일정하게 되어야 한다. 이렇게 좌표변환에서 그 값이 유지되는 양을 불변량 (invariant)이라 한다. 즉 (혹은 )는 불변량이다.

그러나 상대론에서는 거리가 더 이상 불변량이 아닌 것 을 잘 알고 있다. 즉 길이수축에서 본 것처럼 이제 두 지점 사이의 거리는 이것을 관찰하는 좌표계에 따라 달라질 수 있다. 그러면 무엇이 불변량일까?

우선 아래 그림에서 '운동'을 눌러보자. 이 그림은 '시간팽창'에서 도입했던 '펄스 시계'를 각각 다른 속도로 이동하는 두 좌표계에서 본 것이다. 펄스 시계는 화면에 대해 정지해 있고, S 밑 S'의 두 좌표계는 각각 서로 다른 속도로 왼쪽으로 이동하고 있다.

이들 두 좌표계에서는 펄스의 경로가 다르게 관측된다. 즉 S 좌표계 입장에서는 펄스가 더 긴 경로를 따라가므로 펄스가 방출되어 다시 되돌아오는데 걸리는 시간이 길어진다. 그러나 S' 좌표계는 이동 속도가 S에 비하여 느리므로 펄스가 왕복하는데 걸리는 시간이 S 좌표계보다는 덜 걸린다. 따라서 펄스가 방출되는 사건(사건 1)과 되돌아온 사건(사건 2) 사이에서 불변량은 다음과 같이 도출해 볼 수 있다.

우선 위 그림에서 펄스가 방출될때 두 좌표계는 일치되어 있고, 시간도 0으로 일시시켰다. 또 펄스가 방출되는 지점도 각 좌표계의 원점이다. 즉 사건 1은 의 시간에 의 지점에서 일어난다. 한편 사건 2는 그림의 마지막 단계에서 볼 수 있는 것처럼 의 시간에 의 지점에서 일어난다.

그리고 각 좌표계에서 빛이 이동한 거리인 이등변삼각형의 빗변의 길이와 경과시간은 관련되어 있다. (빗변의 길이 ) 이것과 위 그림에서의 가 두 좌표계에서 일정하다는 것을 이용하자. 빗면과 으로 표시한 수직선이 이루는 두 삼각형에서

(1)

이 된다.

이를 다시 정리하면,

(2)

는 불변량의 하나인 것을 알 수 있다. 이 불변량을 시공간 간격 (spacetime invariant)이라고 한다.