광선과 거울 

 

 

구면거울에서의 빛의 반사

 

빛의 반사만으로 실상을 맺게 한다

볼록렌즈나 오목렌즈의 역할을 거울로 실현할 수 없을까? 이것이 가능하다면 색에 따라 렌즈의 굴절률이 달라서 생기는 색수차의 문제를 피할 수 있을 것이다. 반사면을 오목하게 만들어준 거울이 볼록렌즈의 역할을 할 것이라는 것은 쉽게 상상할 수 있다. 이렇게 반사면을 구면의 일부분으로하여 오목하게 만든 거울은 오목거울, 볼록하게 만든 거울은 볼록거울이라 하여 이에 대한 결상의 방정식도 쉽게 유도할 수 있다.

 

 

한점에서 나온 빛은 한점으로 모이게 된다

아래 그림에서 물체점 S에 점광원이 있어 오목한 구면 A점에서 반사된 빛이 광축의 P점에 도달하는 경로를 생각하자.

 

 

 

 

위 그림에서 삼각형 ASP의 꼭지점 A의 각을 이등분하고 있으므로 다음 비례관계가 성립한다.

여기서 부호의 약속은 렌즈의 경우와 비슷하게 하되 단 거울면에서 반사된 빛은 거울의 왼쪽으로 향하므로 렌즈와 달리 상의 위치(si), 상초점의 위치(fi)는 V 지점에서 왼편으로 +값이 되도록 하자. 따라서 곡률반경 R은 렌즈의 경우와 같은 부호규약을 따르므로 위 그림의 경우라면 -값이어서 선분 CV의 길이는 -R이 된다.

또한 A 점이 V에서 크게 벗어나지 않는다면 (근축광선 : paraxial ray) 다음과 같은 근사관계를 쓸 수 있고 이를 위 식에 대입하면

이 된다. 이를 정리하면 역시 so에서 나온 빛이 반사지점 A의 위치에 관계없이 si에 모여든다는 것을 알 수 있다.
 

 

오목거울의 경우에는 R이 -, 볼록거울의 경우에는 R이 +이어서 초점거리 f는 각각 +, -값을 가져 볼록렌즈, 오목렌즈의 식과 같이 된다.

 

 

아래 그림은 오목거울에서 평행광선이 한 점에 모이는 위치인 상초점과 한점에서 나온 빛이 평행광선이 되기위한 광원의 위치인 물체초점의 형성을 보여주고 있다. 빛의 가역성원리에 의해 물체초점과 상초점이 같은 지점으로 +값을 가지게 된다. 한 화면이 완성되면 구면의 곡률반경이 바뀌고 그에 따른 달라진 두 초점의 형성을 교대로 보여주고 있다. 오목거울의 초점거리공식 f =- R/2 를 만족하는 지를 확인해보자. (시간이 지나거나 화면을 클릭하면 새로운 오목거울이 생성된다)

 

 

 

 

 

아래 그림은 볼록거울에서의 상초점과 물체초점의 형성을 보여주고 있다. 두 초점은 역시 같은 지점으로 -값을 가지게 되어 허초점이라 부른다. 한 화면이 완성되면 구면의 곡률반경이 바뀌고 그에 따른 달라진 두 초점의 형성을 교대로 보여주고 있다. 볼록거울의 초점거리공식 f =- R/2 를 만족하는지를 확인해보자.  (시간이 지나거나 화면을 클릭하면 새로운 볼록거울이 생성된다)

 

 

 

 

 

 

구면거울의 모의실험 (Java Applet)

 

 

 

 

아래에 여러 가지 형태의 광원에서 나온 빛이 구형의 거울면을 만나서 어떻게 반사되는 지를 관측할 수 있는 프로그램이 제시되어 있다.  아래의 절차에 따라 여러 가지 변화를 주어 다양한 상태를 만들어 그 결과를 관찰해 보자.
 
프로그램 운용방법

 

1. 화면에서 색으로 표시한 부분은 마우스로 누르거나 끌어서 상황을 변경할 수 있다. (각각 버튼들, 슬라이드바(), 체크박스, 광원 등 )

2. 오른편 아래에 있는 버튼 "run"을 누르면 시간의 진행에 따라 광선이나 파면이 이동하는 모습을 볼 수 있다. 한편 진행상태에서는 "run"은 "pause"로 바뀌는데 이때 이를 누르면 일시 정지한 모습을 볼 수 있다.

3. "reset" 버튼을 누르면 그려진 화면을 정리하고 처음 시간의 상태로 된다. (한편 "by K.S.Chung" 버튼을 누르면 파원이 축의 중심으로 이동한다)

4. "파면보기"나 "광선보기" 으로서 진행파의 파면이나 광선의 진행모습을 볼 수 있다.

5. 입사파의 위치는 왼편 맨 밑의 로 좌우로 이동시킬 수 있다. 한편 화면에 광원의 위치를 나타낼 수 있을 때에는 으로 표시하였고, 이를 마우스로 끌어서 좌우나 상하로 이동 시킬 수 있다. 한편 구면이나 렌즈의 오른쪽에 광원이 위치하여 허물체가 될 때에는 그 곳으로 향하는 파를 화면의 왼쪽에 표시하였다. 또 광원이 화면을 벗어나면 마우스로 이동은 시키지 못하나 로 좌우로 이동시켜서 나타내게 할 수 있다. 광원이 좌우로 멀어지면 평면파(평행광선)으로 바뀐다.

6. 구면의 반경 R은 "곡률반경"의 값이 표시된 바로 및의 로 조절할 수 있다.  좌우로 옮겨서 그 변화가 화면에 반영되는 것을 보자. +값일 때는 볼록면이고, -일 때는 오목면이다. 한편 중앙점에서는 곡률이 무한대인 평면인 보통의 거울이다..

7. 광선의 추적작업이 끝나게 되면 결상의 상황을 그림으로 보여주고, "run" 버튼위에 물체나 상의 상황을 그 값으로 보여주게 된다.

8. 이 프로그램은 거울의 결상공식을 사용하지 않고 전적으로 광선의 행동을 파면이나 광선 하나하나가 매질의 경계를 만났을 때의 행동양식을 추적하여(광성추적법) 그 상황을 보게 한다. (보통 쓰는 렌즈, 거울 공식는 근사공식으로 얇은 렌즈나 거울의 경우 중심축에 가까운 광선이 만족하게 되고 아래의 상황에서는 이조건을 벗어난 파동도 같이 보여주게 되어 있어 "수차"때문에 한 지점에서 정확하게 상이 맺혀지지 않는 경우가 많다. 한편 아래그림에서 상이 맺혀지는 위치를 계산할 때에는 중심을 항햐는 세 개의 광선으로부터 계산하였고, 이 결과 신뢰할 수 없는 값일 때에는 "?"으로 표시하였다.)

 

 

 

 

 

 

 

비구면거울에서의 빛의 반사

 

포물면경 - 광축에 평행한 광선은 모두 한점에 모인다

오목렌즈의 경우 결상공식이 적용되는 경우는 광축으로부터 크게 기울어지지 않고, 벗어나지 않을 때 만이다. 구면거울에 대한 여러 가지의 모의실험에서 확인할 수 있었듯이 광축에서 벗어난 광선은 한점에 모이지 않고 흩어져 버린다. 만일 고정된 위치에서 오는 평행광선을 모아주거나 고정된 위치의 광원에서 나오는 빛을 완벽하게 평행광선으로 하고 싶다면 어떻게 해야 할까?

햇빛을 집속하여 가열장치를 만들거나, 손전등이나 탐조등을 만들 때 이런 상황에 놓이게 된다. 뿐만아니라 마이크로파통신시 파원이 고정되어 있어 이를 효과적으로 수신하거나 송신하기 위해서는 이러한 특수한 거울의 설계가 필요하게 된다.

한점에서 나온 빛이 평행광선이 되기 위한 곡면의 조건은 반사의 법칙으로 알아낼 수도 있지만, 페르마 정리로부터 더 쉽게 유도할 수 있다. 다음 그림을 참고하여 이 곡면이 포물선임을 확인해 보자.

 

 

아래 그림은 포물면경에 평면파가 광축에 나란하게 입사하거나 초점에서 구면파가 발생되는 경우에 대하여 파의 진행모습을 보여주고 있다. (시간이 지나거나 화면을 클릭하면 새로운 포물면경이 생성된다)

 

 

 

 

 

타원체 - 한 초점에서 나온 빛은 다른 초점에서 모인다.

타원의 각 지점은 두 초점으로부터의 거리의 합이 일정하다. 한 초점에서 나온 광선은 다른 초점으로 모여든다는 것은 페르마의 정리에 의해 쉽게 확인된다. 입체적으로 보면 타원의 초점이 있는 축을 중심으로 회전 시키면 계란 모양의 길쭉한 타원체가 되는데 이 타원체의 초점에 점광원이 있으면 이 점광원에서 구면으로 발생된 빛의 모든 부분은 맞은 편의 초점으로 모두 모여들게 된다. 이를 이용하여 레이저의 펌핑광원을 집속 시키기도 한다.

 

 

 

아래 그림은 타원의 한 초점에서 나온 빛이 다른 초점으로 갔다가 다시 되돌아 오는 양상을 보여주고 있다. 파면보기와 광선보기를 변경시켜가며 관측해보자. 한 그림이 끝난 후 조금 있으면 새로운 타원을 임의로 생성하여 다른 상황을 보여주게 될 것이다.  (시간이 지나거나 화면을 클릭하면 새로운 타원체가 생성된다)