광선과 렌즈

구면의 경계를 통과한 빛의 굴절

유리를 연마하여 오목하거나 볼록한 구면을 쉽게 만들 수 있다. 이 구면에 빛이 비추어지면 구면과 만나는 위치에 따라 입사각이 달라서 굴절이 특이한 형태로 이루어 질 것이다. 구면의 곡률이나 굴절률에 따라 한 점에서 나오는 빛은 다시 한 점에 모이게 된다든지, 평행광선이 방사상으로 퍼지는 광선으로 되기도 한다.

하나의 유리 구면의 경계면만 있는 경우는 빛이 모여든 지점이 유리의 내부가 되어 이 빛을 바로 이용할 수는 없지만 이 구면에서의 굴절의 법칙을 이해하면 두 개의 구면의 경계를 가진 렌즈에서의 굴절도 쉽게 이해할 수 있을 것이다. 

이러한 구면경계, 렌즈, 거울 등을 이용하여 광선의 진행경로를 계산하고 상이 맺혀지는 원리를 연구하여 카메라, 망원경 등 광학기구를 고안하는 분야를 "기하광학"이라 한다. 이 기하광학은 거의 모든 내용이 굴절의 법칙(스넬의 법칙)과 반사의 법칙으로부터 출발하므로 어려운 수학의 도움 없이도 쉽게 이해할 수 있다.

한점에서 나온 빛은 한점으로 모이게 된다

아래 그림에서 구면에 입사하는 파가 굴절하는 모습을 보이고 있다. 여기에서 h가 작은 조건에서는 한점 S에서 나온 여러 갈래의 광선이 한점 P에서 모이게 된다. S에 대한 P의 위치는 굴절의 법칙으로 다음과 같이 구할 수 있다.

우선 A를 통과하는 광선에 굴절의 법칙을 적용시켜보자.

여기서 입사각 θ_i와 θ_t가 작다면(근축광선 : paraxial ray) 다음과 같이 놓을 수 있다.

한편 그림에서 , 이고, 앞의 굴절의 법칙에서 나온 식에 대입하면 이 된다. 각들이 모두 작다고 가정하면

이 되어 S의 위치에 대한 P의 위치는 다음과 같이 된다.
 

여기서 s_o에 대한 s_i가 h나 A 지점의 위치에 관계없이 결정된는 것으로 S에서 나온 빛이 한점 P에 모여드는 것을 알 수 있다. 이 한점광원이 한 점에 모여들어 점광원으로 재생되는 것을 실상이라 한다.

평행광선은 초점으로, 초점에서 나온 빛은 평행광선으로 나아간다

만일 광원이 무한히 멀리 있어 평행광선이면 s_o는 ∞가 되고 이때 광선이 모여드는 위치를 상초점(F_i)라 하고, 반대로 평행광선으로 나가게 될 광선을 만들어주는 광원의 위치를 물체초점(F_o)라 한다.

앞의 결상공식에 s_o=∞, s_i=∞를 대입하면 상초점거리 및 물체초점거리는 f_i = n₂R/(n₂-n₁), f_o = n₁R/(n₂-n₁)이 된다.

다음 그림은 볼록구면에서 물체초점과 상초점의 형성을 보여주고 있다. 한 화면이 완성되면 구면의 굴절률이 바뀌고 그에 따른 달라진 두 초점의 형성을 보여주고 있다. 앞의 초점거리공식을 확인해보자. (시간이 지나거나 화면을 클릭하면 새로운 구면경계가 생성되고 이에 대한 평면파나 초점에서 발생한 구면파의 행동을 보여준다.)

허상 - 한 점에 모이지 않을 때

한편 광원이 곡면에 너무 가까워서 s_o가 작아지면 이 식을 만족하는 s_i가 음수가 될 수 있는데 이 경우는 발산하는 광선으로서 그 광선을 역으로 추적해보면 구면 왼쪽으로 |s_i| 떨어진 한점에서 비롯된 것으로 이해할 수 있다. 이러한 경우 허상이라고 한다.

허상이든 오목구면의 경우이든 앞의 식에 적용할 수 있는데 허상의 경우 s_i의 값이 - 가 되고, 오목구면의 경우에는 곡률반경 R이 - 값을 가지고 있다. 즉 구의 중심이 왼쪽에 놓여 있는 것이다.

이에 따라 렌즈계에서 오목, 볼록을 구분하지 않고 공통의 식을 사용하기 위하여 물체와 상의 위치, 곡률반경등을 나타낼 때 다음과 같이 약속을 하도록 하자.

부호의 약속(sign convention)

오목구면 - 언제나 허상만 만든다

오목구면의 경우에는 곡률반경  R이 - 값을 갖고 있다.  따라서 결상공식에서 우변이 - 값이므로 s_o, s_i의 부호가 서로 반대이다. ( n₁<n₂ 라고 가정하자.  n₂<n₁ 인 오목구면은 n₁<n₂인 볼록구면의 행동을 할 것이다)  s_o, s_i의 부호가 서로 반대라는 것은 물체와 상이 같은 편에 있는 것을 말한다.

아래 그림에서 볼 수 있는 것처럼 초점이 앞의 볼록구면의 경우와 달리 허물체, 허상의 자리에 있어 모두 - 값이다. (시간이 지나거나 화면을 클릭하면 새로운 오목구면이 생성되고 이에 대한 평면파나 초점으로 향하는 구면파의 행동을 보여준다.)

아래에 여러 가지 형태의 광원에서 나온 빛이 구면의 경계를 만나서 어떻게 굴절하는 지를 관측할 수 있는 프로그램이 제시되어 있다.  아래의 절차에 따라 여러 가지 변화를 주어 다양한 상태를 만들어 그 결과를 관찰해 보자.

1. 화면에서 색으로 표시한 부분은 마우스로 누르거나 끌어서 상황을 변경할 수 있다. (각각 버튼들, 슬라이드 바(), 체크박스, 광원 등 )

2. 오른편 아래에 있는 버튼 "run"을 누르면 시간의 진행에 따라 광선이나 파면이 이동하는 모습을 볼 수 있다. 한편 진행상태에서는 "run"은 "pause"로 바뀌는데 이때 이를 누르면 일시 정지한 모습을 볼 수 있다.

3. "reset" 버튼을 누르면 그려진 화면을 정리하고 처음 시간의 상태로 된다. (한편 "by K.S.Chung" 버튼을 누르면 파원이 축의 중심으로 이동한다)

4. "파면보기"나 "광선보기" 으로서 진행파의 파면이나 광선의 진행모습을 볼 수 있다.

5. 입사파의 위치는 왼편 맨 밑의 로 좌우로 이동시킬 수 있다. 한편 화면에 광원의 위치를 나타낼 수 있을 때에는 으로 표시하였고, 이를 마우스로 끌어서 좌우나 상하로 이동 시킬 수 있다. 한편 구면이나 렌즈의 오른쪽에 광원이 위치하여 허물체가 될 때에는 그 곳으로 향하는 파를 화면의 왼쪽에 표시하였다. 또 광원이 화면을 벗어나면 마우스로 이동은 시키지 못하나 로 좌우로 이동시켜서 나타내게 할 수 있다. 광원이 좌우로 멀어지면 평면파(평행광선)으로 바뀐다.

6. 구면의 반경 R은 "곡률반경"의 값이 표시된 바로 및의 로 조절할 수 있다.  좌우로 옮겨서 그 변화가 화면에 반영되는 것을 보자. +값일 때는 볼록면이고, -일 때는 오목면이다. 한편 중앙점에서는 곡률이 무한대인 평면이다.

7. 굴절률은 왼편의 로 1~3사이에서 조절할 수 있다.

8. 광선의 추적작업이 끝나게 되면 결상의 상황을 그림으로 보여주고, "run" 버튼 위에 물체나 상의 상황을 그 값으로 보여주게 된다.

9. 이 프로그램은 렌즈, 거울의 결상공식을 사용하지 않고 전적으로 광선의 행동을 파면이나 광선 하나하나가 매질의 경계를 만났을 때의 행동양식을 추적하여(광선추적법) 그 상황을 보게 한다. (보통 쓰는 렌즈, 거울 공식는 근사공식으로 얇은 렌즈나 거울의 경우 중심축에 가까운 광선이 만족하게 되고 아래의 상황에서는 이 조건을 벗어난 파동도 같이 보여주게 되어 있어 "수차"때문에 한 지점에서 정확하게 상이 맺혀지지 않는 경우가 많다. 한편 아래그림에서 상이 맺혀지는 위치를 계산할 때에는 중심을 향하는 세 개의 광선으로부터 계산하였고, 이 결과 신뢰할 수 없는 값일 때에는 "?"으로 표시하였다.)

두 개의 구면이 겹쳐져 있다.

유리 등 투명한 물질로 양쪽 경계면이 구면이 되도록 만든 것을 렌즈라 한다. 광선이 두 번 굴절하여 한점으로 모이거나 발산하거나 하는 양상은 앞의 구면계와 비슷하다. 왼쪽의 구면의 곡률반경을 R₁, 오른쪽의 곡률반경을 R₂ 이라 하고 가운데 두께(d)를 무시할 수 있을 때 (얇은렌즈:thin lens) s_o, s_i 관계는 다음과 같다.

이 경우는 앞에서의 구면계와 달리 물체초점과 상초점이 f로 같은 값이다.

다음 그림은 양쪽의 곡률반경의 크기가 같은(즉 R₂=-R₁) 볼록렌즈에서 물체초점과 상초점의 형성을 보여주고 있다. 한 화면이 완성되면 구면의 굴절률이 바뀌고 그에 따른 달라진 두 초점의 형성을 보여주고 있다. 대칭인 볼록렌즈의 초점거리공식은 f = R/2(n-1)이 되는데 이를 만족하는지를 그림을 관찰하여 확인해보자. (시간이 지나거나 화면을 클릭하면 새로운 볼록렌즈가 생성되고 이에 대한 평면파나 초점에서 발생한 구면파의 행동을 보여준다.)

다음 그림은 양쪽의 곡률반경의 크기가 같은(즉 R₂=-R₁) 오목렌즈에서 물체초점과 상초점의 형성을 보여주고 있다.  이 경우 두 초점이 모두 - 의 같은 값을 가지고 있어 허물체와 허상에 해당한다. (시간이 지나거나 화면을 클릭하면 새로운 오목렌즈가 생성되고 이에 대한 평면파나 초점으로 향하는 구면파의 행동을 보여준다.)

아래에 여러 가지 형태의 광원에서 나온 빛이 볼록렌즈나 , 오목렌즈를 만나서 어떻게 굴절하는 지를 관측할 수 있는 프로그램이 제시되어 있다.  아래의 절차에 따라 여러 가지 변화를 주어 다양한 상태를 만들어 그 결과를 관찰해 보자.

1. 앞의 "구면계에서의 굴절에 대한 모의실험"의 상황과 조작이 거의 같다.

2. 렌즈의 양면의 곡률반경 R은 두 값을 동시에 "곡률반경"의 값이 표시된 바로 및의 로 조절할 수 있다.  좌우로 옮겨서 그 변화가 화면에 반영되는 것을 보자. +값일 때는 볼록렌즈이고, -일 때는 오목렌즈이다. 한편 중앙점에서는 곡률이 무한대인 평면이다.

3. 매질과 렌즈의 굴절률은 왼편의 로 1~3사이에서 조절할 수 있다.