빛과 광선

 

 

호이겐스 원리

 

파의 각 지점이 새로운 파원이 된다.

바다에서 파도가 밀려오는 것을 관찰해보면 파의 높은 부분, 즉 마루를 이루는 곡선이 그 형태를 조금씩 바꾸면서 움직이는 것을 알 수 있다. 파동의 마루를 이어준 곡선 혹은 곡면을 파면이라 한다. 이 파면이 시간에 따라 그 다음 파면을 형성하는 원리는 17세기의 호이겐스에 의해 발견되었다. 호이겐스는 빛을 파동으로 보고 빛이 굴절이나 반사의 법칙을 이 원리로서 잘 설명할 수 있었다. 이 호이겐스 원리파면의 각 지점들이 구면파를 발생시키는 파원이 되고, 무수히 많이 생기는 이 구면파가 겹쳐서 만드는 그 포락선이 다음 파면을 형성한다는 것이다.

 

 

 

위 그림에서 굵은 노란색으로 표시한 파면이 점점 커져가는 것을 보여주고 있다. 파면의 각 지점이 무수히 많은 구면파를 만들어서 이것이 시간이 흘러감에 따라 원을 그리면서 커져가고 있다. 이때 이 구면파의 바깥쪽 포락선이 바로 다음 파면을 계속해서 형성한다.

 

 

파는 그 진행방향쪽으로 제일 강한 파를 만든다.

호이겐스 원리는 임의의 모양의 파면이 그다음 파면을 형성하는 형태를 추측하거나, 파의 진행속도가 다른 지역으로 들어갈 때 굴절하는 양상, 또는 파동의 회절을 설명하는데에 좋은 수단을 제공하기는 하지만 문제점을 가지고 있다.  점 파원은 사방으로 동일한 세기의 파동을 만드므로 파면의 진행방향에 반대되는 방향으로의 파동도 생겨나야 하나 이러한 것은 관측할 수 없다.

프레넬, 키르히호프는 파동방정식을 이용하여 더 엄밀한 방법으로 이 호이겐스 원리를 검증하여 이를 수정할 수 있었다. 이를 프레넬-키르히호프 법칙이라 한다. 이 원리는 진작의 파면의 진행방향과 이루는 각도(θ)에 따라 파의 세기가 다르다는 것 말하고 있다. 파면이 형성하는 파원은 구면파를 만들어 내기는 하지만 파가 진행하는 방향으로 가장 강하고 그 반대 방향으로는 진폭이 0인 파동을 만들어 낸다.

그 상대적인 파동의 세기는 (1+cosθ)/2 으로 표현된다.

 

 

 

비록  호이겐스 원리가 근사식에 불과하기는 하지만 진행방향과 크게 벗어나지 않은 방향으로의 파동의 세기는 거의 대등하므로 굴절, 반사, 간섭, 회절 등의 파동의 여러 현상을 설명하는데에 매우 유용하게 쓸 수 있다.

 

 

아래 그림은 호이겐스원리(엄격하게는 호이겐스-프레넬-키르히호프 원리)를 충실히 따라서 그 다음의 파면을 형성시켜서 이를 화면에 효과적으로 나타내도록 프로그램되어 있다. 화면에서 "run"를 눌러서 프로그램을 실행시켜보자. 노란색의 굵은 곡선은 한 순간의 파면을 나타낸다. 이 파면의 각 지점들이 만들어 내는 구면파가 시간이 진행함에 따라 커져서 그 다음 파면을 어떻게 형성하는가를 보여주고 있다. 한 그림이 완성되거나 "pause"를 누르면 실행이 정지된다. 한편 "reset"을 누르면 새로운 모양의 파면이 초기 파동으로서 생성된다. 이때 다시 "run"을 눌러서 호이겐스 원리에 의하여 형성되는 다음 시간의 파면을 거듭해서 보도록 하자.

   

 

굴절의 법칙

 

굴절은 파의 진행속도 차이 때문에 생긴다.

파동이 속도를 달리하는 매질 속으로 들어가면 진행방향이 변하게 된다.  이는 호이겐스 원리에 의해 파면에서 생성된 구면파가 매질속에서 속도가 달라져서 구면파들이 만드는 포락선의 방향이 꺽어지기 때문이다.

아래 그림을 보자. 그림에서 노란색으로 표현한 파면은 붉은 화살표로 표현한 파면에 수직한 방향으로 진행하다가 파의 진행속도가 달라진 매질 속으로 진입을 하고 있다. 여기서 n1, n2로 표시한 굴절률은 파의 진행속도와 다음과 같은 관계를 가지고 있다.

v1 = vo/n1, v2 = vo/n2

빛의 경우 기준속도 vo는 진공에서의 빛의 속도 c로서 매질의 굴절률은 1보다 큰 값을 가지고 있다.

 

 

 


위 그림에서 분홍색으로 표현한 d1, d2는 같은 시간동안 파동이 진행한 거리로서 이는 각각의 매질에서의 진행속도에 비례하므로 굴절률에 반비례하게 된다. 따라서 서로 마주 붙어 있는 두 직각삼각형이 공통의 빗변을 가지고 있으므로 다음과 같은 비례관계를 유도할 수 있다.

sinθ1/sinθ2 = v1/v2 = n2/n1

이를 스넬의 법칙이라 한다. 스넬의 법칙은 굴절이 일어나는 정도가 두 매질의 굴절률의 비에만 의존하고 각각의 굴절률에는 무관하다는 것을 말해주고 있다. 굴절률의 비, 즉 n2/n1상대적 굴절률이라 한다.

 

 

 

아래의 모의실험을 실행하여 이 굴절의 원리를 이해해 보자.

 

 

 

파면의 굴절에 대한 모의실험 (Java Applet)

 

 

 

경험법칙인 스넬의 굴절의 법칙은 호이겐스 원리로 쉽게 해석되는 것을 보았다. 매질의 경계를 굴절해 들어가는 파동의 파면이 어떻게 형성되는지를 잘 관찰해보자.

 
프로그램 운용방법

 

1. 화면에서 색으로 표시한 부분은 마우스로 누르거나 끌어서 상황을 변경할 수 있다.

2. 화면에서 "run"을 눌러서 프로그램을 실행시켜보자. 노란색의 굵은 곡선의 한 순간의 파면을 나타낸다. 이 파면의 각 지점들이 만들어 내는 구면파가 시간이 진행함에 따라 커져서 그 다음 파면을 어떻게 형성하는가를 보여주고 있다.

3. 한 그림이 완성되면 파면의 생성을 중지한다. 이때 "reset"을 누르면 처음부터 다시 시작하게 된다.

4. 두 매질의 굴절률, 입사각 및 파장은 마우스를 이용하여 변경할 수 있다. 변경하게 되면 자동으로 실행 정지되게 되어 있으므로 다시 "run"을 눌러서 파면이 이동하는 모습을 살펴보도록 하자.

5. 조건을 바꾸면 굴절된 파가 진행하는 방향, 굴절각을 시각적으로 보여주게 되는데 이는 스넬의 법칙을 미리 적용하여 굴절된 파면이 진행하게 될 방향을 예측한 것으로서 이와 실제의 파면의 행동을 비교해 볼 수 있다.

6. "반사파 보기"를 선택해 두면 매질의 경계면에서 반사되는 파동도 동시에 관측할 수 있다.

7. 가장자리에서는 빛이 통과해 버리지만 의 가장자리는 파를 반사하는 거울로 되어 있어 여기에서 파면이 반사된다. - 프로그램 자체가 미리 연출된 것이 아니고 파면의 입장에서 공간의 굴절률 분포에 따라 자동으로 진행하는 양식을 결정하고 있다는 것을 강조하기 위한 것이다 -

8. 공기에서 물, 유리로 또는 역의 방향으로 진행하는 상황 등 다양한 조건으로 변경시켜서 파의 진행하는 양상을 관측해 보자.

9. 전반사의 상황을 만들어서 파면이 전파되는 원리를 생각해보자.
 

   

 

 

 

광선과 빛의 전파

 

광선은 빛이 전파될 때 빛의 파면에 수직한 방향을 연결한 선이다.

빛 역시 파동이므로 넓은 범위에 펴져있는 파면이 앞에서 설명한 호이겐스 원리에 의하여 전파되는 것이다. 그러나 우리가 일상생활에서 보는 빛은 줄기를 가지고 진행하는 듯이 보인다. 아침 햇살이 나뭇가지 사이로 비추어 질 때 그 빛은 직선으로 된 가닥을 따라 진행하는 것처럼 보이는 것이나, 플래쉬를 비추면 어둠 속으로 빛의 선을 따라 나가는 것처럼 보인는 것으로부터 우리는 광선의 개념을 느낄 수 있다. 특히 레이저의 경우에는 그 빛의 줄기가 가늘어서 마치 단 하나의 광선이 있는 것으로 생각 할 수 있다.

이렇게 파동에 대하여 그 파면이 나아가는 방향을 정의할 수 있어 모든 종류의 파동에 대하여 다 이와 같은 광선의 개념을 생각할 수 있을 것이다. 특히 빛의 경우에는 파장이 그 빛의 진로에 놓여 있을 수 있는 물체의 규모에 비하여 월등히 짧아서 회절의 효과가 거의 나타나지 않아 이 광선의 개념을 유용하게 쓸 수 있다. 그러나 파장이 긴 전파, 음파 등의 경우에는 회절의 효과가 커져서 이러한 "광선"의 개념을 거의 사용하지 않는다. 빛의 경우에도 회절이 나타나는 조건에서는 이를 적용하기 곤란하므로 광선은 엄밀하게는 근사적인 개념이라 할 수 있을 것이다.

 

 

 

광선은 에너지가 흐르는 방향으로 이어준 선이다. 

빛의 파동은 다른 파동과 마찬가지로 에너지를 전달하는데 이 방향은 바로 광선의 방향이다. 이는 우리가 빛살이 비추어 질 때 밝음이나 따뜻함이 그 빛살을 따라서 전달 되는 듯한 느낌을 갖는 것으로 추측해 볼 수 있다. 이 에너지는 파면에 수직한 방향으로 흐르게 된다. (비등방의 매질에서는 그러지 않을 수도 있다)

호이겐스의 원리로 부터 파동으로서의 빛의 전파를 이해하는 것 보다 이 광선의 진행양상을 이해하여 빛의 전파를 이해하는 것이 편리한 경우가 많다. 이러한 관점으로 렌즈, 거울 등에서의 빛의 반사와 굴절을 다루어 이를 이용한 기기를 이해하는 분야를 "기하광학"이라 한다.

 

 

 

아래 프로그램은 파면과 광선의 관계를 보여주고 있다. "reset"을 누르면 환경이 다양하게 달라진다. (여기서 바탕은 굴절률이 1이고 녹색의 점으로 표시된 지점은 굴절률이 1.5이다. 한편 빛을 반사하는 포물면경이나 거울의 경우 청색의 점으로 표시하였다) "run"을 누르면 굵은 노란 선으로 표현한 파면과 붉은 선으로 표시한 광선이 생성되어 전파되는 모습을 볼 수 있다.

 

 

 

  

광선의 전파법칙

 

동일한 매질 속에서 광선은 직진한다.

빛은 매질이 바뀌지 않으면 진행 방향을 그대로 유지한다. 구면파의 경우 광원에서 멀어질수록 구면의 반경이 커지는 것처럼 파면은 진행함에 따라 형태가 달라질 수 있지만, 광선의 방향은 어느 지점에서나 한결같이 직선이다. 광선을 다루기가 파면의 전파를 다루기보다 쉬운 이유가 여기에 있다.

 

 

 

굴절률이 달라지는 매질로 진입할 때 광선은 스넬의 법칙에 따라 굴절을 한다. 

앞에서 파면으로 해석한 굴절의 법칙은 다음 그림처럼 광선이 매질의 경계에서 꺾어지는 단순한 상황으로 이해할 수 있다.

 

 

 

 

 

페르마의 원리 

The actual path between two points taken by a beam of light is the one that is traversed in the least time

페르마는 빛이 공간의 두 지점 사이를 진행할 때 그 주변의 무수히 많은 여러 경로중 최소의 시간이 걸리는 경로를 따른다는 것을 제안하였다. 이로부터 직진성, 반사의법칙, 굴절의 법칙 등을 모두 검증할 수 있고, 스넬의 법칙을 적용하기 곤란한 연속적으로 굴절률이 변하는 상황에도 적용할 수 있다.

아래 그림은 S 점에서 P 으로 광선이 진행하는 상황에서 최소의 시간이 소요되는 경로를 고르는 과정을 표시한다.  매질의 경계에서 광선이 만나는 지점 O로 연결되는 광선의 경로는 자명하게 직선이 될 것이다. 그 O점의 위치를 변화시키면서 S, P와 연결하는 두 직선에서 광선의 소요시간의 합이 최소인 상황을 알아내면 된다.

 

 

아래의 식에서 표현한 것처럼 S에서 P점에 이르는 광선의 소요시간 t(x)가 최소값을 가지는 x를 찾으면 이 조건이 바로 Snell의 법칙이 된다.

 

광선의 반사

 

거울에서의 반사

광선이 거울을 만나면 그 표면에서 광선이 반사되어 나온다. 거울의 표면에는 알루미늄 등 금속막이 입혀져 있는데 이 빛이 가지고 있는 전기장이 금속 내부에 전류를 흐르게 하고 그 전류가 다시 전자기파로서의 빛을 방출하는 것이다. 거울에 의해 빛이 반사되는 법칙 역시 앞에서의 호이겐스의 원리나 페르마 원리로 쉽게 알아낼 수 있다.

 

 

 

광선이 거울에 진입하면 반사의 법칙에 의해 빛이 반사된다.

반사가 일어날 때 광선의 입사각과 반사각은 정확하게 일치하고, 이를 반사의 법칙이라 한다.

 

 

광선이 굴절되는 상황에서도 일부분이 반사된다

투명한 거울이나 물에서도 우리의 얼굴이 비쳐지는 것을 보았을 것이다. 특히 뒤쪽이 어두운 유리나 깊은 호수에서라면 마치 거울처럼 모습을 선명하게 볼 수 있어 매무새를 고칠 수 있을 정도가 된다. 이는 매질의 경계에서 반사의 법칙에 따라 빛의 일부분이 반사되기 때문이다. 이렇게 반사하는 현상을 내부반사라 한다.

이러한 현상은 빛이 가지고 있는 전기장과 자기장이 매질에서 전자기 법칙에 따라 행동한 결과인데 이는 프레넬 방정식으로 잘 정리되어 있다. 이에 따르면 유리의 경우 100%의 수직으로 입사 (입사각이 0) 하는 빛 중에서 굴절하는 빛이 96%이고 4%가 반사된다. 물의 경우에는 약 2%가 반사되어 이것이 바로 우리 얼굴이 비쳐 보이는 빛의 밝기가 될 것이다. 입사각이 0에서 점점 커지면 반사하는 빛의 비율도 점점 커져서 유리의 경우 입사각이 80도 정도되면 50% 이상이 반사된다. 호수에 비스듬히 비쳐지는 하늘이 상당히 밝은 것은 이 때문이다.

 

 

굴절의 법칙을 만족치 할 수 없는 상황에서 빛은 100% 전반사된다

상대적 굴절률 n = n2/n1 이 1보다 작은 경우에는 스넬의 법칙을 만족하는 굴절각이 존재하지 않는 경우가 생긴다. 즉 입사각의 sin 값이 n보다 큰 경우 (즉 sinθ1 > n) 에는 sinθ2 가 1보다 커져서 굴절각 θ2 가 존재하지 않는 것이다.

이러한 경우에는 굴절이 전혀 일어나지 않으므로 입사한 빛의 100%가 반사되어 나가게 되고 이를 전반사라 한다.

전반사가 일어나는 조건의 입사각을 임계각c)이라 하고 다음 식을 만족한다.

sinθc = n

유리 속에서 공기로 나가는 경우(상대적 굴절률 n=1/1.5) 임계각은 약 41.8도 이다.

 

무지개의 원리

 

무지개는 물방울이 만든다.

누구나 어린 시절 가졌을 "무지개가 무엇인가"에 대한 의문은 고대 그리스 시대 이래로 과학자, 혹은 철학자들도 가지고 있었다. 아리스토텔레스는 빨주노초파남보의 무지개의 여러 색깔 중에서 빨강이 가장 순수하다고 주장하였고, 데카르트는 이 무지개를 이해하기 위하여 아래 프로그램에서 보이는 것같이 물방울에 입사하는 수천개의 광선을 작도로서 추적하였다. 데카르트는 스넬과는 별도로 굴절의 법칙을 발견하였고 이를 이용하여 무지개에 대하여 제대로 설명할 수 있게 된 최초의 사람이 되었다. 이보다 먼저 13세기에 살았던 철학자 베이컨은 다른 장소에 있는 관측자는 각기 다른 무지개를 보게 되고 이 무지개는 태양방향에서 약 42도 벌어진 고깔(원추)모양을 이룬다는 것을 관측해 내기도 하였다.

이 무지개가 대기의 물방울에 의한 것이라는 사실은 1304년에 검증되었고, 1635년 데카르트에 의해 베이컨의 관측을 증명할 수 있게 되었다. 그러나 무지개가 여러 색의 띠를 가진 것에 대하여는, 뉴튼이 빛의 본성을 설명하고 프리즘 실험을 통에 빛이 여러 색의 요소를 가진 것을 알게 될 때까지 기다려야만 했다.

 

 

 

빛의 분산

물을 비롯한 모든 물질은 빛의 파장별로 그 굴절률이 다르다. 이 때문에 여러 파장이 섞여 있는 빛이 매질 속에서 굴절하게 되면 파장별로 다른 각으로 굴절되어 빛이 성분별로 분리된다. 무지개가 아름다운 색으로 분리되는 것도 바로 물의 빛에 대한 분산 때문이다.

오른쪽 그림에서 구형의 물방울 속에 빨강부터 보라색의 모든 색 요소가 다 섞여 있는 백색의 태양 빛이 입사하여 굴절되는 것을 보여주고 있다. 이때 물방울의 각각 다른 부분으로 입사한 빛은 서로 다른 각도로 굴절과 내부반사를 거쳐서 되돌아 나온다. 물방울에 균등하게 비쳐진 광선은 우선 물방울에 진입할 때 굴절된다. 그리고 굴절된 빛은 물방울 경계를 만나서 굴절되어 나가는 빛과 내부반사를 하는 빛으로 나뉘어 질 것이다 (이때 물방울로 진입할 때 그 표면에서 일부분 반사되는 빛이나 물방울 속에서 1차로 굴절되어 나가는 빛은 무지개를 만드는데 기여하지 않아서 그림에서 나타내지 않는다). 이렇게 부분적으로 반사한 빛은 다시 굴절의 법칙으로 물방울 밖으로 나오게 되는데 아래의 모의실험을 실행해 보면 알 수 있듯이 상당히 넓은 범위에 걸친 각으로 퍼져 나오게 된다. (즉 굴절→내부반사→굴절되는 빛이 무지개를 만든다!  전반사가 관여하지 않음에 주의 하자. 원형의 물질에 진입한 빛은 경계를 벗어날 때 당연히 굴절되어 나가는 조건을 충족한다. 작도를 해보면 첫 단계에서의 굴절각이 두 번째 단계의 입사각이 되고,두 번째의 굴절각은 바로 처음의 입사각과 같음을 알 수 있을 것이다 )

한 색채에 대하여 이렇게 넓은 각도로 균등하게 빛이 퍼진다면 무지개처럼 선명하게 원호를 그리는 모습을 볼 수 없을 것이나 다행히 오른편 그림에서 보는 것처럼 그 꺽인 각(편위각이라 하자)이 제일 작은 광선 주위로 빛이 많이 밀집되게 된다. 오른편 윗 부분에 "가장 밝은 부분"을 형성하게 되는 것이 바로 이 때문이다. 이처럼 밀집되는 것을 알아내기 위하여 데카르트는 수천개의 광선을 작도를 하였던 것이다.

 

이렇게 밝은 부분을 형성하는 편위각도 굴절률에 따라 달라진다. 굴절률이 1.333인 노란색의 경우에는 편위각이 42o 02'가 되고 이보다 굴절률이 1.3311로서 작은 값을 가진 붉은 색의 경우에는 이 값이 42o 22'가 된다.

 

 

 

물방울 전체로 입사한 빛에 의해서 편위된 붉은 색의 빛은 물방울의 대칭성에 의해 햇빛이 오는 방향을 축으로 42o 22'인 원뿔을 그리게 된다. 그림에 나타낸 원뿔면 방향으로 가장 밝은 빛이 나가게 되지만 실제로는 원뿔의 안쪽으로도 중심축에 접근할수록 조금씩 약해지기는 하지만 역시 붉은 빛이 꺾여 나간다.

 

아래에는 각기 다른 원뿔을 만드는 노랑, 파랑의 빛을 한 지점에서 관측하는 것을 보여주고 있다.

공중에 무수히 많은 물방울이 퍼져 있을 때 해를 등지고 햇빛이 비추어지는 쪽을 쳐다본다면 그 관측자입장에서 오른편 그림처럼 42o 22'의 각을 이루는 커다란 원을 만날 것이다. 실제로는 이 원은 관측자의 눈 바로 앞에서부터 아주 멀리까지의 물방울에서 나오는 빛이 겹쳐서 상당한 깊이를 가지고 있으나 항상 같은 방향이어서 그저 멀리 있는 것 같은 원으로 관측하게 된다. (오른편 그림은 단순한 도형에 불과하다. 옆에는 무지개의 실체가 보이지 않을 것이다.)

 

 

무지개에 대한 모의실험

아래 그림은 물방울에 다양한 색의 빛이 비추어지는 것을 보여주고 있다. 이때 우선 화면을 "clear"로 지우고 "run"을 시켜 한 색채의 빛이 굴절과 반사, 굴절을 거듭하여 물방울에서 나가는 것을 관찰해 보자.

 

 

 

프로그램 운용법

1) "reset" 버튼은 새로운 색채에 대하여 광선 추적을 할 준비를 한다. 이때 만들어지는 색채는 다섯 색으로 제한하여 그림이 산만해지지 않도록 하였다. 우리나라에서는 전통적으로 무지개를 오색무지개로 불렀음을 상기하자. (아리스토텔레스는 빨강, 노랑, 초록, 파랑의 네가지 색채로, 서양에서는 빨주노초파남보의 일곱색으로 분간하였다)

2) "run" 버튼은 광선추적을 시작(혹은 재시작)을 시키고, 동작 중일 때에는 "pause"로 바꾸면서 일시정지 시키는 버튼으로 작동한다.

3) "clear" 버튼을 누르면 화면이 지워진다.

4) "real water drop" 에 체크(√)를 하면 실제의 물방울에 대한 파장별 굴절률 대로 굴절이 이루어지지만 체크 되지 않은 초기상태에서는 빨강에 대하여 굴절률 1.45로, 보라색에 대해서는 1.25로 과장되게 결과를 보여주도록 하였다. 실제로 두 색의 굴절률 차이는 0.012에 불과하여 입사광선과 굴절광선 사이의 사이각이 1o 46' 차이밖에 나지 않는다.

5) 결과를 실측하기 위해서 화면위로 마우스를 움직이면 좌표값이 오른편 상단에 나타탄다. 단위는 픽셀이고 (x, y)의 x는 화면 왼편 변으로부터의 거리이고, y는 화면 상편 변으로부터 거리이다.

6) "secondary rainbow"를 선택하면 물방울 내부에서 한번 더 전반사한 빛이 만드는 2차무지개의 원리를 보여주게 된다.

 

 

중요 관찰사항 :

1) 아리스토텔레스가 말한 것처럼 무지개에서 가장 순수한 색이 붉은 색인 이유를 생각해 보자.

2) 프로그림을 실행하여 몇가지 색의 빛의 사이각을 측정해 보자.