위상자법에 의한 파의 합성

 

 

위상자법의 기초원리

 

여러 가지의 조화진동이 합해져서 만드는 복합진동을 계산하는 일은 역학, 전자공학, 파동학, 광학 등 여러 영역에서 나온다. 특히 각각의 조화진동의 진동수가 동일한 경우에 합성된 진동도 역시 같은 진동수를 갖는 조화진동이 되는데 이 합성된 진동의 진폭이나 위상은 각각의 진동의 진폭이나 위상과 관련이 있다. 특히 전자공학에서 교류전류가 저항이나 콘덴서, 코일에 걸리는 교류회로의 경우 합성된 전압을 계산할 때 이러한 계산을 쉽게 하기 위하여 복소수를 도입하거나, 이 복소수의 개념을 보다 쉽게 도식화 한 위상자(페이사:phasor)방법을 쓴다. 위상자는 복소수로 표현한 파의 복소진폭을 말하는데 이는 2차원 벡터공간에서 벡터로 볼 수 있고 파의 합성을 이 벡터공간에서의 벡터의 합성과 같이 취급할 수 있다.

 

 

우선 단조화진동을 다음과 같이 표현하자.

여기서 Io는 진폭이고 ω는 진동수, ε는 위상이다. 이러한 단조화진동 두 개가 있다고 하자.

두 진동이 합성되어서 하나의 운동으로 나타난다면 그 합성된 진동은 두 진동을 중첩시켜 다음과 같이 계산할 수 있을 것이다.

합성된 결과 또한 같은 진동수의 단진동이 되는 것은 두 개의 sin 함수를 삼각함수의 합의 공식으로 전개하여 쉽게 검증할 수 있다. 이때 새로운 진폭 I, 위상 ε 은 다음과 같다.

특히 새로운 진폭은 사이 각이 이고 각각의 변이 Io1, Io2인 두 변으로 형성시킨 평행사변형의 한 대각선임을 알 수 있어, 마치 벡터의 합성처럼 작도로서 진폭을 계산할 수 있게 된다.

보편적으로 진동의 에너지는 그 진동량의 제곱에 비례한다. 파동은 무수히 많은 진동이 모여 있는 것으로 해석할 수 있고, 따라서 그 파가 가지고 있는 에너지는 파동함수의 제곱에 비례하게 되어 예를 들어 파동함수 값이 두 배로 큰 파동은 네 배로 큰 에너지를 가지고 있게 된다. 파동이 지나가는 한 지점은 진동을 하게 되는데 진동이 서서히 일어나는 경우에는 그 진동이 가지고 있는 에너지도 서서히 변하게 되지만 진동이 아주 급하게 일어난다면 그 진동이 가지고 있는 에너지도 급격하게 변화되게 된다. 즉 진동의 에너지의 진동수에 따라 진동을 하게 되는 것이다.

진동수가 높아지면 에너지의 크기도 아주 빠르게 변하므로 파동의 총체적인 에너지는 각 시간에서의 에너지의 시간 평균치를 느끼게 되고 이는 결국 진폭의 제곱에 비례하게 된다. 이러한 경우에는 진폭이나 그 진폭의 제곱만이 중요하고, 위상은 관측하기 쉽지 않거나 다른 영향을 거의 주지 못해서 중요하지 않는 물리량이 된다.

특히 공간의 한 지점에서의 빛은 단순히 전기장의 진동이 된다. 가시광선의 경우 1초에 1014번 이상 진동하므로 시시각각의 진동의 모습은 어떠한 계측으로도 관측할 수 없고, 따라서 위상의 정보도 알아낼 수 없다.

 

 

원운동과 진동, 그리고 파동

 

1. 진동 중에서 단진동은 등속원운동하는 물체의 중심을 지나는 직선에 투영된 그림자의 운동으로 생각할 수 있다.

2. 공간의 한 지점에서의 조화파는 단진동으로 볼 수 있다.

3. 이때 파동을 으로 표현하면,
x1지점의 단진동의 함수는 로 되어 그 지점에서의 진동의 위상은 α = - kx1 + ε 이 된다.

 

 

아래의 프로그램을 실행해 보면 공간의 한 지점의 파동량의 변화는 바로 원운동의 수직축으로의 투영임을 알 수 있을 것이다.  단 위치가 달라지면 단지 원운동의 위상 값, 즉 시작 위치가 달라지는 정도이고 그 외 양상은 동일하다.  만일에 한 파가 둘로 나누어져 다른 경로를 따라서 와서 한 지점에서 만난다면 어떻게 될까? 한 지점에 도착하는 두 파는 지나온 경로가 다르므로 오직 위상 값만 다른 두 파가 만나서 합성되는 양상이 될 것이다.

아래 그림을 관측하여

1. "단진동"과 "원운동"을 적당히 선택하여 운동의 연관성을 살펴보자.

2. 마우스로 파동부분을 클릭하여 그 위치에서의 단진동을 보자.

 

 

 

 

위상자법과 원운동

 

아래 그림에서 파동 두 개가 경로차를 두고 한 지점에 도착하여 합성된 진동을 잘 볼 수 있도록 하였다. 각각의 진동은 진동수가 동일하므로 합성되어서도 같은 진동수이고 또한 합성된 결과도 단조화진동이다. (이를 sin함수의 덧셈으로부터 확인해보자) 마우스를 화면의 아무 위치에서나 한번 클릭하면 진폭과 위상이 다른 값으로 바뀐 경우에 대한 그림을 관측할 수 있다.

 

 

 

 

 

 

위상자법에 의한 이중슬릿 간섭(영의 간섭)의 해석

 

 

 

위 그림에서 θ기울어진 방향으로 나아가는 빛 두줄기는 슬릿을 통과하는 순간은 서로 위상이 같았으나 스크린의 같은 지점에 도달하게 되었을 때에는 각각이 달려온 거리가 달라서 서로간의 위상의 차이가 생기게 된다.

위상은 α=-k (빛의 경로) + ε 임으로 두 파의 위상차이는
k × (경로차) 가 될 것이다.

따라서 이 위상차이를 파장으로 표현하면,

여기서 θ가 0에서 점차 커지면 위상 차이도 0에서 점차 커져서 10o, 20o, 45o, 90o, 180o, 360o, 540o, 720o,...등으로 커져서 위상자법에 의한 합성된 진폭은 0과 2배의 진폭 사이로 커졌다 작아졌다 할 것이다.

 

 

아래 그림은 Young의 간섭을 위상자법으로 계산하는 방법을 보여준다.

1. 스크린의 각 지점에 도달하는 두 빛을 위상자로 합성하여 진폭과 밝기를 구한다.

2. 각 슬릿을 통과한 빛의 진폭은 같을 것이므로 위 그림의 위상차 (Δα)만 계산하면 상대적인 밝기를 작도로서 계산할 수 있다.

3. 아래 그림에서 "Calculation" 버튼을 눌러서 계산하는 양식을 이해하도록 하자.

4. 화면에서 색으로 표시한 부분은 마우스로 누르거나 끌어서 상황을 변경할 수 있다. 먼저 스크린을 움직여서 간섭무늬의 변화를 관찰해보자.

5. 슬릿의 간격(d)를 변경시켜 간섭무늬의 변화를 관찰해보자.

6. 파장을 변화시켜서 간섭무늬의 변화를 관찰해보자.

※ 관측을 끝내면 "Pause"를 눌러서 중단을 시키도록 하자.
 

 

 

 

 

 

 

위상자에 의한 단일슬릿 회절의 해석

 

단일슬릿의 경우 슬릿의 폭이 좁다면 호이겐스의 원리에 의해 그곳으로부터 1개의 구면파가 생겨 나가게 되어 특이한 간섭의 무늬를 볼 수 없을 것이다.

그러나 슬릿의 폭이 빛의 파장에 비하여 클 때에는 슬릿을 통과하는 빛의 슬릿에서의 위치에 따라 빛의 위상이 달라지게 되어 이의 간섭의 효과가 나타날 것이다. 이 경우는 연속적으로 위상차이가 있는 빛이 무수히 많이 합해지게 되어 이를 특별히 회절이라 하고 무늬의 형태는 간섭의 무늬와는 다른 양상을 띈다. 연속적인 위상차이의 빛을 무수히 합하는 방법으로서 위상자의 방법을 쓰면 매우 직관적으로 회절을 이해할 수 있다.

 

 

아래 그림은  슬릿의 폭이 d인 단일 슬릿을 통과하는 빛을 보여주고 있다.

편의상 슬릿내부를 10등분 하여 각 분할된 영역을 통과한 열가닥의 빛이 평행으로 나아가 멀리 있는(혹은 볼록렌즈에 의해 집속되어) 스크린의 한 점(중심선과 θ기울어진)에 모이는 상황을 생각해보자.

 

 

 

 

 

오른쪽 그림(0으로 표기된)은 슬릿의 면에 수직인 평행광선으로 나가게 되어 스크린의 중앙에 도달하게되는 10개의 빛이 합성된 형태를 보여주고 있다. 모든 광선이 다 같은 광학적 경로를 가지고 있기 때문에 같은 위상을 가지게 되어 그 위상자를 나열하면 그림처럼 일직선이 되어 합성된 위상자는 열배의 크기를 가진 다.

오른쪽 그림(5로 표기된)은 스크린에서 약간 벗어난 위치로 비추어지는 빛으로 10개로 분활한 빛들은 인접한 빛과 일정한 위상의 차이를 가지게 될 것이다. 이 그림의 경우는 인접한 빛이 5o의 위상차이를 가지고 있다. 따라서 위상자를 합성하면 그림처럼 5o로 자꾸 꼬부라져 휘어진 형태가 된다. 여기서 많은 수로 분활하였다면 이 위상자가 중첩된 형태는 원호가 되고 이 원호의 길이는 0o의 직선의 길이와 같을 것이다. (이렇게 길이가 같아야 하는 이유를 구체적으로 검증해 보자) 

 

아래의 그림은 인접한 빛이 서로 10o, 15o, 20o의 위상차를 가지고 있다.

 

 

아래의 그림은 인접한 빛이 서로 30o, 36o, 45o의 위상차를 가지고 있다. 36o의 경우는 열 개가 합성되어 출발점으로 되돌아 온 모습이다. 이 경우에는 빛이 서로 모두 소멸되어 스크린에서 가장 어두운 무늬를 만들 게 될 것이다. 또한 이보다 위상이 커지게 되면 한 바뀌 돈 이후에 또다시 새로운 원호를 그리게 되어 점차 밝아질 것이다. 그러나 총 원호의 길이는 일정하므로 합성된 위상자의 크기는 앞에서의 경우와 비해 많이 줄어있다.

 

 

 

 

왼편 그림에서 54o의 것은 한 바뀌돌아 반 바뀌 돌아 있어 부분적인 극대의 조건을 이루고 있다. 72o의 경우에는 두바뀌 돌아 빛이 완전히 소멸된 상황을 보여준다.

 

 

위의 위상자 그림에서 합성된 위상자의 길이는 바로 스크린에서의 빛의 진폭을이 된다. 이를 아래 그림처럼 스크린의 위치에 따라 나열하면 아래와 같은 그래프가 될 것이다. 그림의 중앙, 가장 밝은 지점은 스크린의 정 중앙이 되고, 오른쪽으로 갈수록 스크린의 위치각(θ)이 점점 증가하여 이에 따른 위상차이도 5o, 10o, 15o, 20o 등으로 점차 증가하고 있다.

 

 

 

아래 그림은 이중슬릿의 회절을 위상자법으로 계산하는 방법을 보여준다.

1. 스크린의 각 지점에 도달하는 여러 갈래의 빛을 위상자로 합성하여 진폭과 밝기를 구한다.

2. 슬릿을 같은 간격으로 분할한 빛 줄기들의 진폭은 동일하므로 인접한 빛의 경로차이를 계산하여 위상차를 알아낸 후, 분할한 모든 빛에 대하여 합성한다.

3. 아래 그림에서 "Calculation" 버튼을 눌러서 계산하는 양식을 이해하도록 하자.

4. 화면에서 색으로 표시한 부분은 마우스로 누르거나 끌어서 상황을 변경할 수 있다. 먼저 스크린을 움직여서 간섭무늬의 변화를 관찰해보자.

5. 슬릿의 간격(d)를 변경시켜 간섭무늬의 변화를 관찰해보자.

6. 파장을 변화시켜서 간섭무늬의 변화를 관찰해보자.

7. 분할 수를 변화시켜서 그 결과를 비교해보자. 분할 수가 적으면 회절무늬에서 벗어나 이중슬릿, 삼중슬릿 등에서의 간섭무늬를 나타내게 될 것이다.

8. 슬릿은 실제로 엄밀한 계산을 위해서는 분할 갯수를 무한 대로 해야 한다. 이 경우는 길이가 거의 0인 위상자가 연속적으로 꼬부라 들어 완전하게 원호를 이루게 되고, 이때 원호를 직선으로 이어준 선이 합성파의 진폭을 나타낼 것이다. 이러한 방법으로 회절무늬의 공식을 유도해보자.

※ 스크린 오른쪽의 회절무늬는 최고 피크에서의 값이 너무 높아 나머지 피크들이 상대적으로 어둡게 나온다. 마치 필름에 노출할 때 어두운 무늬를 잘 볼 수 있도록 노출을 의도적으로 과다하게 하는 것 처럼 충분히 밝게 표시하였다. 따라서 색상이 흰색으로 바뀌는 부분은 빛이 강해서 노출 과다된 부분이라고 생각할 수 있을 것이다.

※ 모의실험을 끝내고 이동할 때에는 "Pause"를 눌러서 중단을 시키도록 하자.
 

 

 

생각해 볼 점

 

 

1. Young의 이중슬릿 간섭무늬와 단일슬릣의 회절무늬 형태의 대표적인 차이점들을 생각해 보자

2. 이중슬릿의 회절에서 극대점의 조건을 식으로 구성해 보자.

3. 이 위상자법을 슬릿의 폭을 무시할 수 없는 두 슬릿의 회절에 적용시켜 회절무늬가 어떻게 형성될 지를 정성적으로 알아보자.