> 김철호님께서 말씀하시길….
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> 수고가 많으시네요..
> 다름이 아니라 일반적으로 파동방적식은 1차원으로 현의 진동에 대한 예를 듭니다.
> 제가 궁금한 것은 길이에 따라 질량이 같은 것이 아니라 길이에 따라 질량이 달라질때의 방정식을 구하고 싶습니다.
> 물론 1차원으로는 안되겠지요.
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> 예로서 길이 10cm의 바에 5cm는 지름이 5mm이고 나머지 5cm는 지름이 3mm일때의 조건식을 구하고 싶습니다.
> 길이에 대하여 지름이 변하니 구하기가 어렵네요..
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> 도움 부탁드립니다.
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> 감사합니다.
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좀 까다롭긴 하지만 그렇게 어렵지 않게 풀리는 문제입니다.
물리에서 이와 비슷한 경우가 빛의 경우에나 양자역학에 있습니다. 빛의 경우에는 굴절률이 다른 지역으로 파동이 진입할때에 굴절되는 것이 비슷한 상황인데 줄의 경우는 1차원이어서 더 쉽게 접근할 수 있습니다. 빛의 경우라면 매질의 경계에 수직으로 입사하는 경우가 이 문제와 거의 같다고 하겠습니다. 빛이 수직으로 입사하면 경계를 통과헤 들어가는 것과 경계에서 반사되어 나오는 두가지 파동이 있게 되죠. 전자기장의 경계조건에서 두가지의 비율이 정해집니다.
한편 양자역학에서는 퍼텐셜 계단을 진입하는 경우가 이와 유사하여 양자역학 교재에 대부분 언급되어 있습니다. 이 경우도 파동함수의 연속과 미분연속을 이용하게 되는데 이 내용을 보게 된다면 줄의 문제도 쉽게 풀이할 수 있습니다.
줄의 경우에 두 영역으로 나누어서 파동방정식을 구성합니다. 선밀도가 작은 경우(즉 지름이 3mm로 표현한)에는 속도가 빠른 값을 갖는 파동방정식이고, 선밀도가 큰 경우에는 속도가 느린 값을 갖는 파동방정식입니다. 한쪽 영역에서 줄의 파동이 입사하여 경계면에서 일부 반사되고, 일부 투과되는데 경게에서는 두 함수가 연속이고 미분연속이 되어야 합니다. 그렇게 하면 몇% 가 반사되고, 몇%가 투과되는지 구할 수 있게 됩니다.
단 문제가 그러한 줄이 끝없이 이어져 있는 것이 아니라 양쪽이 매어져 있다고 하고 이 줄의 고유진동 모드(mode)를 구하는 문제라면 경우에 따라 까다롭거나 잘 풀리지 않는 경우가 있을 것입니다.
특별히 줄에서 뛰노는 파동이 조화파인 경우 두 영역에서 단지 파동이 전파되는 속도가 다르고 따라서 파장이 달라지나 진동수는 같습니다.
이러한 문제가 어떤 경우에 나타난 것인지 궁금하군요. |
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님이
남겨주셨습니다.
[Re]파동방정식의 응용