막대의 회전운동

질량이 균일하게 분포된 긴 막대의 중심에서 그에 수직한 회전축에 대한 관성능률은

이다. 여기서 은 막대 전체의 질량이고 은 막대의 길이이다. 따라서 회전축이 막대의 끝에 수직으로 있다면 이에 대한 관성능률을 계산해야 한다. 평행축 정리에 의해

[eqn: I=[I_cm`+`m ({l over 2})^2 ]=[ ml^2 over 12 + ml^2 over 4 ] = ml^2 over 3]

한편 막대에 가해주는 토크는 회전가속도 를 가지게 하는데 의 관계를 가진다. 이 막대가 받는 토크는 모든 질량이 질량중심에 쏠려서 작용하는 것처럼 생각할 수 있기 때문에

이다. 따라서 회전가속도 는 다음과 같다.

[eqn: α={3g sin theta} over {2l}]

따라서 막대의 길이 이 적어지면 이에 반비례해서 가 커진다.

(오른편 그림처럼 세워진 막대를 약간 기우려서 쓰러지게 하면 짧은 막대가 더 빠르게 쓰러질 것이다)

막대가 수직으로 서 있다가 지면과 만나는 점을 고정점으로 하여 쓰러지게 된다면 이 막대의 회전각속도는 이와 같이 일정한 값을 가지게 된다. 따라서 각 막대의 지점에 대한 가속도는 다 다르게 주어진다. 이 가속도는 회전운동을 하는 원호에 접하는 성분과 회전 중심으로 향하는 성분으로 나누어 생각할 수 있다. 이때 전자를 동경가속도, 후자를 구심가속도라고 한다. 이때 동경가속도 가 막대기 혹은 굴뚝을 부러지게 한다.

[eqn: a_t = αr = `{3`g`sinθ} over {2``l} r]

따라서 막대기나 굴뚝의 윗부분으로 갈수록 선형가속도가 커진다. 실제로 굴뚝 맨 위의 수직 가속도 성분의 크기는 중력 가속도 보다 크다. 때문에 굴뚝의 위 부분은 보통의 단일 물체가 자유낙하할 때 보다 더 큰 가속운동을 하는 것이 되고 따라서 중력보다 더 큰 힘을 받는 것이다. 반면에 아래쪽에서는 동경각속도가 중력에 의한 자유낙하 가속도보다 적으므로 실제로 받는 힘의 동경성분은 중력보다 적어서 다른 힘에 의해 회전운동의 방대방향으로 끌어당기는 힘이 있어야 한다.

이 힘은 오직 막대나 굴뚝을 형성하는 물체에서 생겨나는 것으로 이 힘이 위치에 따라 서로 달라서 층밀리기 힘이 생겨나게 된다. 이 층밀리기 힘이 가장 큰 부분이 파괴될 가능성이 가장 큰데 이 위치가 바로 [eqn: r = 2 over 3 l]의 위치에 있다.

이를 더 자세하게 알아보면,

아래 그림은 굴뚝이 지면과 90도를 이루다가 [eqn: 90-theta]가 된 순간의 모양을 나타내는데, 이때 [eqn: r sim r+dr] 사이의 요소에 대해서 고려하도록 하자. 이의 접선방향으로의 가속도는 앞에서 계산한 대로

[eqn: a_t = αr = `{3`g`sinθ} over {2``l} r]

이므로 이 물체가 접선방향으로 받는 힘은 막대가 강체를 유지하는 한 이미 결정되어 있다.

위 그림에서 중력의 접선방향으로의 성분은 [eqn: (dm) g sin theta] 이다. 한편 굴뚝 전체에는 마치 줄에서의 장력처럼 인접한 굴뚝의 영향으로 응력(stress)이 작용할 것인데 이중 층밀리기 응력(shear stress, 비틀림힘으로 표현한)은 회전운동의 접선방향의 성분으로 생겨나기에 이를 잘 해석해야 한다.

이를 위 그림의 오른편에 나타내었다. 각 지점에서의 이 응력의 분포를 [eqn: S(r)]이라 한다면 이 값은 경계면의 왼쪽이 오른쪽에 작용하는 것으로 해석하면 된다. (이 값은 -일 수 있고, 실제로 그림의 화살표와는 반대방향일 수 있을 것이다) 그렇다면 경계면의 오른쪽은 왼쪽에 이 힘에 반대되는 반작용이 작용할 것이다. 따라서 위 그림에 우리가 주목하는 [eqn: dr]의 요소는 운동방향을 +로 했을 때 [eqn: S(r)]과 [eqn: -S(r+dr)]의 힘을 받고, 이에 따라 다음 방정식이 만족한다.

[eqn: dm g sin theta + [S(r)-S(r+dr)] = dm {3gr sin theta}over{2l}]

한편 [eqn: dm = M {dr} over {l}]이므로

[eqn: M over l g sin theta left[ 1 - {3r} over {2l} right] = {dS}over {dr}]

이것으로부터 층밀리기응력의 분포함수 [eqn: S(r)]을 구할 수 있다. 여기서는 실제로 최대의 [eqn: S(r)]을 갖는 [eqn: r]만 구하는 것이 목적이므로 [eqn: dS over dr = 0]이 되는 [eqn: r]을 정하면 된다.

[eqn: r = 2 over 3 l]

한편 이 지점에서 실제로 최대값을 가지는 것인지 아는 목적도 있고, 또한 전체의 분포를 아는 것도 의미가 있으므로 [eqn: S(r)]을 구해보면,

[eqn: S(r) = M over l g sin theta left[ r - 3 over {4l} r^2 + C right]]

처럼 위로 볼록한 2차 함수이다. 따라서 최대값을 갖게 되는데 여기서 적분상수 C를 정하는 문제는 굴뚝의 회전중심에서 굴뚝을 지지하는 힘과 관련되어 있을 것이고, 이 회전중심이 굳건하게 미끄러지지 않고 있다는 조건으로부터 구할 수 있다.